Aufgabe 4014
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Bodensee - Aufgabe A_253
Teil b
Der Phosphorgehalt im Bodensee kann im Zeitraum von 1970 bis 2004 näherungsweise durch eine Polynomfunktion f beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie mithilfe des oben dargestellten Graphen von f die mittlere Änderungsrate des Phosphorgehalts im Zeitintervall [12; 18].
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Dokumentieren Sie in Worten, wie man mittels Differenzialrechnung berechnen kann, wann der Phosphorgehalt am stärksten gesunken ist.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir entnehmen der Illustration wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( {12} \right) = 81 \cr & f\left( {18} \right) = 60 \cr} \)
Die mittlere Änderungsrate errechnet sich zu:
\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} \cr & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{60 - 81}}{{18 - 12}} = \dfrac{{ - 21}}{6} = - 3,5 \cr} \)
Die mittlere Änderungsrate im gegebenen Intervall beträgt rund –3,5 μg pro Liter pro Jahr.
2. Teilaufgabe
Die stärkste Änderung vom Phosphorgehalt finden wir an jener Stelle an der der Graph am steilsten ist bzw. sein Krümmungsverhalten ändert, also an der Wendestelle. An der Wendestelle muss gelten:
\(f''\left( {{t_0}} \right) = 0{\text{ und f'''}}\left( {{t_0}} \right) \ne 0\)
Man ermittelt die Nullstelle der 2. Ableitung der Funktion f im dargestellten Intervall.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die mittlere Änderungsrate im gegebenen Intervall beträgt rund –3,5 μg pro Liter pro Jahr.
2. Teilaufgabe
Man ermittelt die Wendestelle, da ist die Nullstelle der 2. Ableitung der Funktion f im dargestellten Intervall.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: Für das richtige Ermitteln der mittleren Änderungsrate im Toleranzbereich [–4; –3,3] (KA)
2. Teilaufgabe
1 × C: Für die richtige Dokumentation in Worten (In der Grafik ist klar zu erkennen, dass f im dargestellten Intervall nur eine Wendestelle hat). (KA)