Aufgabe 4015
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Bodensee - Aufgabe A_243
Teil c
Sabine und Johanna fahren mit ihren Fahrrädern auf einem Radweg in Richtung Ludwigshafen (siehe nachstehende Skizze). Sabine startet im 12 Kilometer von Bregenz entfernten Lindau und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 15 km/h. Johanna startet mit einem E-Bike eine Stunde später in Bregenz und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 30 km/h.
Sabines Entfernung von Bregenz kann näherungsweise durch die lineare Funktion S beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie im obigen Diagramm den Graphen der linearen Funktion J ein, der Johannas Entfernung von Bregenz darstellt.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie ab, wie lange Johanna unterwegs ist, bis sie Sabine einholt.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Auch Otto fährt auf diesem Radweg von Bregenz in Richtung Ludwigshafen. Seine Geschwindigkeit kann durch eine Funktion v beschrieben werden.
t | Zeit in h |
v(t) | Geschwindigkeit zur Zeit t in km/h |
Beschreiben Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit \(\int\limits_0^2 {v\left( t \right)} \,\,dt\) im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird.
[1 Punkt]
Lösungsweg
Teilaufgabe 1
- Johanna startet eine Stunde später → \(J_1\left( {1\left| 0 \right.} \right)\)
- Das E-Bike fährt 30 km/h → \(J_2\left( {2\left| {30} \right.} \right)\) 2 weil das E-Bike erst zum Zeitpunkt t=1 Std losgefahren ist und dann noch eine weitere Stunde braucht, bis es 30 km weit gekommen ist.
- Anmerkung: Auf Grund der vorgegebenen Skalierung lässt sich folgender Punkt genauer einzeichnen \(J_2'\left( {3\left| {60} \right.} \right)\)
Teilaufgabe 2
Dem Schnittpunk der beiden Funktionen S und J können entnehmen:
→ Johanna ist 1,8 h unterwegs, bis sie Sabine einholt
3. Teilaufgabe
Ganz allgemein gilt folgender physikalischer Zusammenhang:
\(s\left( t \right) = \int\limits_0^T {v\left( t \right)\,\,dt} \)
Somit:
\(\eqalign{ & v\left( t \right) = \dfrac{{ds}}{{dt}} \cr & ds = v\left( t \right)\,\,dt\,\,\,\,\,\left| {\int {} } \right. \cr & s = \int {v\left( t \right)\,\,dt} \cr} \)
→ Es wird die Länge desjenigen Weges (Entfernung ab Bregenz) in Kilometern berechnet, den Otto in den ersten 2 Stunden zurückgelegt hat.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
Johanna ist 1,8 h unterwegs, bis sie Sabine einholt.
3. Teilaufgabe
Es wird die Länge desjenigen Weges (Entfernung ab Bregenz) in Kilometern berechnet, den Otto in den ersten 2 Stunden zurückgelegt hat.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: Für das richtige Einzeichnen des Graphen (KA)
2. Teilaufgabe
1 × C1: Für das richtige Ablesen der Fahrtdauer im Toleranzbereich [1,6; 2,1] (KB)
3. Teilaufgabe
1 × C2: Für die richtige Beschreibung im gegebenen Sachzusammenhang mit Angabe der entsprechenden Einheit (KB)