Aufgabe 4168
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bahnverkehr in Österreich - Aufgabe A_283
Teil b
Die Fahrtstrecke im Semmering-Basistunnel wird 27,3 Kilometer lang sein und eine (als konstant angenommene) Steigung von 0,84 % haben. In der folgenden Berechnung des Höhenunterschieds Δh in Metern auf dieser Fahrtstrecke ist genau ein Fehler passiert:
Steigungswinkel:
\(\eqalign{ & \alpha = \arctan \left( {0,0084} \right) = 0,48127^\circ \cr & \Delta h = \dfrac{{27300{\text{ m}}}}{{\sin \left( \alpha \right)}} = 3\,\,250\,\,114,6{\text{ m}} \cr} \)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie die Berechnung und das Ergebnis richtig.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir überprüfen den Steigungswinkel Alpha: Die Fahrtstrecke mit 27 300 m entspricht der Hypotenuse im rechtwinkeligen Dreieck. Die Steigung von 0,85% (einer Straße, einer Bahntrasse) gibt das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds (Gegenkathete), zur horizontal zugrunde liegenden Strecke (Ankathete) an.
\(\eqalign{ & \tan \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} \cr & \alpha = \arctan \left( {{\text{Steigung}}} \right) \cr & \alpha = \arctan \left( {0,0084} \right) \approx 0,4813^\circ \cr} \)
Der Steigungswinkel ist korrekt.
Wir überprüfen den Höhenunterschied, wobei wir mit der Einheit „Meter“ rechnen:
\(\eqalign{ & \sin \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypothenuse}}}} = \dfrac{{\Delta h}}{{{\text{Fahrtstrecke}}}} \cr & \Delta h = {\text{Fahrtstrecke}} \cdot \sin \left( \alpha \right) = 27300*\sin \left( {0.48127^\circ } \right) \approx 229,31{\text{ m}} \cr} \)
→ Der Fehler liegt in der Division, denn nur eine Multiplikation liefert das richtige Resultat für Δh.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der Fehler liegt in der Division, denn nur eine Multiplikation liefert das richtige Resultat für Δh.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x A: für die Richtigstellung mit dem richtigen Ergebnis