Aufgabe 4295
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gondelbahn auf den Untersberg - A_224
Teil c
Aufgrund des Eigengewichts hängt das Tragseil zwischen der Talstation und der Stütze I durch. Sein Verlauf kann näherungsweise als Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung
\(y = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten a, b und c ermittelt werden können.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie a, b und c.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Damit wir die drei Unbekannten berechnen können benötigen wir drei Gleichungen. Diese drei Gleichungen können wir unter Berücksichtigung der beiden Ränder vom Tragseil bei der Talstation bzw. der Stütze I und unter Berücksichtigung des zusätzlichen Punktes etwa in der Mitte zwischen Talstation und Stütze I durch Einsetzen in die quadratische Gleichung wie folgt aufstellen:
\(\eqalign{ & y = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c \cr & \cr & f(x = 0) = c = 456 \cr & f(x = 740) = a \cdot {740^2} + b \cdot 740 + 456 = 740\,\,\,\,\,\left| { - 456} \right. \cr & f\left( {x = 1385} \right) = a \cdot {1385^2} + b \cdot 1385 + 456 = 1148\,\,\,\,\,\left| { - 456} \right. \cr & \cr & {740^2}a + 740b = 284 \cr & {1385^2}a + 1385b = 692 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & {740^2}a + 740b = 284; \cr & {1385^2}a + 1385b = 692; \cr & \cr & a \approx 0,00017962 \cr & b \approx 0,25086 \cr} \)
Wir haben die Lösung des Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz gelöst:
Wolfram Alpha: 740^(2)a+740b=284;1385^(2)a+1385b=692;
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & c = 456 \cr & {740^2}a + 740b = 284 \cr & {1385^2}a + 1385b = 692 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & a \approx 0,00017962 \cr & b \approx 0,25086 \cr} \)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Aufstellen des Gleichungssystems (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B: für das richtige Ermitteln der Koeffizienten (KB)