Aufgabe 4307
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Am Fluss - Aufgabe A_229
Teil a
Das Querschnittsprofil eines künstlichen Flusslaufes kann annähernd durch den Graphen der Polynomfunktion f beschrieben werden:
\(f\left( x \right) = - \dfrac{1}{8} \cdot {x^3} + \dfrac{3}{4} \cdot {x^2}{\rm{ mit }} - 2 \le x \le 4\)
- x, f(x) ... Koordinaten in Metern (m)
Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie diejenige Stelle, an der das Querschnittsprofil auf der Ostseite am stärksten ansteigt.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Gegeben ist das folgende Integral:
\(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {4 - f\left( x \right)} \right)} \,\,dx\)
Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Flache, deren Inhalt mithilfe dieses Integrals berechnet werden kann.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Wendepunkt ist jener Punkt, an dem sich die Richtung der Kurve bzw. deren Krümmungsverhalten ändert. Er ist dann auch der Punkt, der die Funktion ihre stärkste Steigung hat.
Den Wendepunkt berechnet man indem man die 2. Ableitung sucht und diese dann Null setzt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = - \dfrac{1}{8} \cdot {x^3} + \dfrac{3}{4} \cdot {x^2} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{3}{8} \cdot {x^2} + \dfrac{{3 \cdot 2}}{4}x \cr & f''\left( x \right) = - \dfrac{{3 \cdot 2}}{8} \cdot x + \dfrac{6}{4} = - 0.75 \cdot x + 1.5 \cr & \cr & - 0,75 \cdot x + 1,5 = 0 \cr & 1,5 = 0,75 \cdot x \cr & x = \dfrac{{1,5}}{{0,75}} = 2 \cr} \)
An der Stelle x = 2 steigt das Querschnittsprofil auf der Ostseite am stärksten an.
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
2. Teilaufgabe:
Das gegebene Integral repräsentiert die Querschnittsfläche des Flusslaufs. Die konstante Funktion 4 ist dabei die Oberkante vom Flusslauf und f(x) ist die Querschnittsfläche des Flusslaufs.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
An der Stelle x = 2 steigt das Querschnittsprofil auf der Ostseite am stärksten an.
2. Teilaufgabe:
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe:
1 × B: fur die richtige Berechnung der Wendestelle der Funktion f
(In der Grafik ist klar zu erkennen, dass der Anstieg des Querschnittsprofils an der Ostseite an der Wendestelle am stärksten ist. Eine rechnerische Überprüfung des Steigungsverhaltens der Funktion an der berechneten Stelle sowie eine Überprüfung der Randstellen sind daher nicht erforderlich.) (KB)
2. Teilaufgabe:
1 × C: für das richtige Kennzeichnen der Fläche (KA)