Aufgabe 4308
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Am Fluss - Aufgabe A_229
Teil b
Ein von einem Punkt A senkrecht aufsteigender Ballon wird von einem Punkt B am Flussufer unter dem Höhenwinkel α = 30° gesehen. Etwas später erscheint der Ballon unter dem Höhenwinkel β = 40° (siehe nachstehende Skizze).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Streckenlänge CD.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir kennen die Streckenlänge AB zu 100m. Diese Strecke ist zugleich die Ankathete sowohl für den Winkel Alpha als auch für den Winkel Beta.
Die Streckenlängen AC bzw AD sind jeweils die Gegenkatheten für den Winkel Alpha bzw. Beta.
Der Tangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete. Somit können wir schreiben:
\(\eqalign{ & \tan \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \frac{{\overline {AC} }}{{100}} \to \overline {AC} = 100 \cdot \tan \left( \alpha \right) \cr & \tan \left( \beta \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \frac{{\overline {AD} }}{{100}} \to \overline {AD} = 100 \cdot \tan \left( \beta \right) \cr & \cr & \overline {CD} = \overline {AD} - \overline {AC} \cr & \overline {CD} = 100 \cdot \tan \left( \beta \right) - 100 \cdot \tan \left( \alpha \right) \cr & \overline {CD} = 100 \cdot \left( {\tan \left( \beta \right) - \tan \left( \alpha \right)} \right) \cr & \overline {CD} = 100\left( {\tan \left( {40} \right) - \tan \left( {30} \right)} \right) \approx 26,175m \cr} \)
→ Die Streckenlänge CD beträgt ca. 26m
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die Streckenlänge CD beträgt ca. 26m
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × B: für die richtige Berechnung der Streckenlänge CD (KA)