Aufgabe 5668
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kaffeekapseln – Aufgabe A_325
Teil b
In einer Dose liegen insgesamt 12 Kaffeekapseln. Es gibt nur grüne Kaffeekapseln (G) und lilafarbene Kaffeekapseln (L). Peter nimmt zufällig und ohne Zurücklegen 2 Kaffeekapseln aus dieser Dose.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Peter mindestens 1 grüne Kaffeekapsel aus der Dose nimmt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Dem bereits in der Angabe beschrifteten Kästchen entnehmen wir, dass NACHDEM Peter schon eine grüne Kapsel entnommen hat noch 6 grüne Kapsel übrig sind. Dh es müssen ursprünglich 6+1=7 grüne bei insgesamt 12 Kapseln vorhanden gewesen sein.
- Somit können wir das Kästchen darüber mit 7/12 beschriften.
- Das Kästchen neben dem beschrifteten Kästchen muss mit der Ergänzung von 6/11 auf 11/11 also 5/11 beschriftet werden.
- In der obersten Zeile wissen wir bereits, dass 7 von 12 Kapseln grün sind, daher müssen 5 von 12 Kapseln lila sein. Wir beschriften also 5/12
- Nachdem eine von 5 lila Kapsel gezogen wurde, bleiben noch 4 von 11 Kapseln um ein weiteres Mal eine lila Kapsel zu ziehen: 4/11
- Das letzte Kästchen ergibt sich zu 11/11 minus 4/11 ist gleich 7/11 um nach lila diesmal grün zu ziehen
Somit ergibt sich folgendes Baumdiagramm:
2. Teilaufgabe
Wir sollen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass Peter mindestens 1 grüne Kaffeekapsel aus der Dose nimmt. Dh zulässig sind, dass Peter bei zwei Entnahmen entweder 1 oder 2 Kapseln entnimmt. Das ist einfach zu berechnen, erfordert aber wir 3 Pfade entlang vom Baum berechnen. Einfacher ist es, mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu arbeiten, nämlich dass Peter keine grüne sonder zwei lila Kapseln entnimmt, was dem äußerst rechen Pfad im Baum entspricht:
\(1 - \dfrac{5}{{12}} \cdot \dfrac{4}{{11}} = \dfrac{{28}}{{33}} \approx 0,8484\)
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass Peter mindestens 1 grüne Kaffeekapsel aus der Dose nimmt, beträgt rund 84,8 %.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit, dass Peter mindestens 1 grüne Kaffeekapsel aus der Dose nimmt, beträgt rund 84,8 %.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Vervollständigen des Baumdiagramms.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.