Aufgabe 5681
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenblumen – Aufgabe A_329
Teil c
In einer Gärtnerei werden Kerne von Sonnenblumen in mit Erde befüllte Kisten eingesetzt. In jede Kiste werden 10 Kerne eingesetzt. Aus Erfahrung weiß man, dass jeder Kern unabhängig von den anderen Kernen mit einer Wahrscheinlichkeit p keimt.
- Wahrscheinlichkeit 1: Wahrscheinlichkeit, dass in einer zufällig ausgewählten Kiste höchstens 1 Kern keimt
- Wahrscheinlichkeit 2: Wahrscheinlichkeit, dass in einer zufällig ausgewählten Kiste genau 9 Kerne keimen
- Ausdruck A: \(1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 9 \end{array}} \right) \cdot {p^9} \cdot {\left( {1 - p} \right)^1}\)
- Ausdruck B: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 9 \end{array}} \right) \cdot {p^6} \cdot {\left( {1 - p} \right)^1}\)
- Ausdruck C: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {p^1} \cdot {\left( {1 - p} \right)^9} + {\left( {1 - p} \right)^{10}}\)
- Ausdruck D: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {p^1} \cdot {\left( { - p} \right)^9}\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Wahrscheinlichkeiten jeweils den zutreffenden Ausdruck aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
- X .. Anzahl der Kerne welche keimen, eine binomialverteilte Zufallsvariable
- n=10 Kerne
- p .. Wahrscheinlichkeit, dass ein Kern keimt
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt:
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)
„Höchstens 1 Kern" keimt entspricht, dass "genau kein Keim" oder "genau 1 Keim" keimt, also dass k=0 bzw. k=1 beträgt
\(\begin{array}{l} P\left( {X = 0} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {p^0} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{10 - 0}}\\ P\left( {X = 1} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {p^1} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{10 - 1}} \end{array}\)
1 "oder" 2 → "+"
\(1 \cdot 1 \cdot {\left( {1 - p} \right)^{10}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {p^1} \cdot {\left( {1 - p} \right)^9}\)
→ Ausdruck C
Genau 9 Keime keimen, daher ist in diesem Fall k=9
\(P\left( {X = k = 9} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 9 \end{array}} \right) \cdot {p^9} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{10 - 9}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 9 \end{array}} \right) \cdot {p^9} \cdot {\left( {1 - p} \right)^1}\)
→ Ausdruck B
Somit:
- Wahrscheinlichkeit 1 = Ausdruck C
- Wahrscheinlichkeit 2 = Ausdruck B
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
- Wahrscheinlichkeit 1 = Ausdruck C
- Wahrscheinlichkeit 2 = Ausdruck B
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Zuordnen.