Aufgabe 4030
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
Teil a
Bei höherer Belastung benötigt der Körper mehr Sauerstoff und produziert als „Abfallprodukt“ Laktat. Ab einer gewissen Laktatkonzentration ist das Herz-Kreislauf-System nicht mehr in der Lage, die arbeitenden Muskeln mit genügend Sauerstoff zu versorgen. Diese Laktatkonzentration heißt anaerobe Schwelle.
Für einen bestimmten Sportler kann die Laktatkonzentration in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit beim Laufen näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden:
\(f\left( x \right) = 0,0461 \cdot {e^{0,29 \cdot x}} + 0,9\)
mit
x | Geschwindigkeit beim Laufen in Kilometern pro Stunde (km/h) |
f(x) | Laktatkonzentration bei der Geschwindigkeit x in Millimol pro Liter Blut (mmol/L) |
Erreicht die Laktatkonzentration die anaerobe Schwelle, so beträgt der Steigungswinkel von f an dieser Stelle 45°.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie die anaerobe Schwelle dieses Sportlers.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Über die gesuchte anaerobe Schwelle wissen wir, dass dort der Steigungswinkel von f 45° beträgt. Mit dem Steigungswinkel selbst können wir aber nichts anfangen, mit der Steigung hingegen schon, denn die Steigung entspricht der 1. Ableitung f‘ der Funktion f an der gesuchten anaeroben Schwelle.
Zuerst ermitteln wir aus dem Steigungswinkel die Steigung:
\(\begin{array}{l} k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Ankathete}}}} = \tan \alpha \\ k = tan\left( {45^\circ } \right) = 1 \end{array}\)
Danach ermitteln wir f‘ und setzen \(f'\left( {{\text{x = anaerobe Schwelle}}} \right) = k=1\)
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 0,0461 \cdot {e^{0,29 \cdot x}} + 0,9 \cr & f'\left( x \right) = 0,0461 \cdot {e^{0,29 \cdot x}} \cdot 0,29 = 0,013369 \cdot {e^{0,29 \cdot x}} \cr & f'\left( {{\text{x = anaerobe Schwelle}}} \right) = 1 = 0,013369 \cdot {e^{0,29 \cdot x}} \cr & 1 = 0,013369 \cdot {e^{0,29 \cdot x}} \cr & \dfrac{1}{{0,013369}} = {e^{0,29 \cdot x}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \dfrac{1}{{0,013369}} = 0,29x \cr & 4,314817 = 0,29x \cr & x = \dfrac{{4,314817}}{{0,29}} = 14,879 \cr} \)
Gemäß Angabe ist x=14,8 km/h die Geschwindigkeit des Läufers, bei der er die anaerobe Schwelle erreicht. Setzen wir also x=14,8 in die gegebene Gleichung für die Laktatkonzentrationf(x) ein, so erhalten wir die anaerobe Schwelle in Millimol pro Liter Blut (mmol/L) für diesen Läufer:
\(\eqalign{ & f\left( {x = 14,879} \right) = 0,0461 \cdot {e^{0,29 \cdot x}} + 0,9 = \cr & 0,0461 \cdot {e^{0,29 \cdot 14,879}} + 0,9 = 4,3486 \cr} \)
→ Die anaerobe Schwelle dieses Sportlers liegt bei rund 4,35 mmol/L.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die anaerobe Schwelle dieses Sportlers liegt bei rund 4,35 mmol/L.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: Für die richtige Bestimmung der anaeroben Schwelle (KA)