Aufgabe 4037
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinkende Kugeln - Aufgabe B_407
Teil a
Die Sinkgeschwindigkeit einer in einer Flüssigkeit sinkenden Metallkugel kann durch eine Funktion v beschrieben werden: \(v\left( t \right) = g \cdot \tau \cdot \left( {1 - {e^{ (- \dfrac{t}{\tau })}}} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0\)
wobei:
t | Zeit ab Beginn des Sinkens in Sekunden (s) |
v(t) | Sinkgeschwindigkeit zur Zeit t in Metern pro Sekunde (m/s) |
τ | Zeitkonstante in s mit τ > 0 |
g | Erdbeschleunigung (g ≈ 9,81 m/s2) |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Begründen Sie mathematisch, warum die Sinkgeschwindigkeit ständig zunimmt.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir erstellen eine Wertetabelle um uns die Zusammenhänge auf eine sichere und rasche Weise zu veranschaulichen. Um uns Tipparbeit zu ersparen wählen wir \(\tau = 1\) :
t | \({e^{ - \dfrac{t}{\tau }}} = \dfrac{1}{{{e^{\dfrac{t}{\tau }}}}}\) | \(\left( {1 - {e^{ - \dfrac{t}{\tau }}}} \right)\) |
0 | \( {e^{ - \dfrac{o}{1}}} = 1\) | \(\left( {1 - {e^0}} \right) = 0\) |
1 | \({e^{ - \dfrac{1}{1}}} = 0,37\) | \(\left( {1 - {e^{ - 1}}} \right) = 0,63\) |
2 | \({e^{ - \dfrac{2}{1}}} = 0,14\) | \(\left( {1 - {e^{ - 2}}} \right) = 0,86\) |
\(t \to \infty \) | \({e^\infty } \to 0\) | \(\left( {1 - {e^{ - \infty }}} \right) \to 1\) |
Für ein größer werdendes t konvergiert \({e^{ (- \dfrac{t}{\tau })}}\) gegen 0 und folglich konvergiert \(\left( {1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}}} \right)\) von 0 weg gegen 1. Da der Faktor vor der Klammer \(g \cdot \tau \) ebenfalls positiv ist, muss der Funktionswert ständig zunehmen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Für ein größer werdendes t konvergiert \({e^{ (- \dfrac{t}{\tau })}}\) gegen 0 und folglich konvergiert \(\left( {1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}}} \right)\) von 0 weg gegen 1. Da der Faktor vor der Klammer \(g \cdot \tau \) ebenfalls positiv ist, muss der Funktionswert ständig zunehmen.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
× D: für die richtige Begründung (KB)