Aufgabe 4038
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinkende Kugeln - Aufgabe B_407
Teil b
Eine Kugel K2 beginnt 1 Sekunde nach einer Kugel K1 zu sinken. In der nachstehenden Grafik sind die Sinkgeschwindigkeit v1 der Kugel K1 und die Sinkgeschwindigkeit v2 der Kugel K2 dargestellt. Die Zeitkonstante der Sinkgeschwindigkeit v2 beträgt τ2 = 0,8 s.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion v2 für t ≥ 1.
[1 Punkt]
Zum Zeitpunkt t0 ist die Beschleunigung der Kugel K2 größer als die Beschleunigung der Kugel K1.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie, wie man dies in der obigen Grafik erkennen kann.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
\({v_2}\left( t \right) = g \cdot \tau \cdot \left( {1 - {e^{ - \dfrac{t}{\tau }}}} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0\)
Diese Gleichung hat t als einzige Variable, alles andere sind Konstanten. Weiters wissen wir, dass an der Stelle t=1 der Funktionswert v2(t=1)=0 ist. Damit dies eine wahre Aussage wird, muss der Term in der Klammer zu null werden.
Betrachten wir den Term in der Klammer näher: An der Stelle t=1 muss gelten: \(1 = {e^{ - \dfrac{{1 + x}}{{0,8}}}}\) daher wegen \({e^0} = 1 \to x = - 1\)
Somit muss die Gleichung wie folgt lauten:
\({v_2}\left( t \right) = g \cdot \tau \cdot \left( {1 - {e^{ - \dfrac{{t - 1}}{\tau }}}} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0\)
2. Teilaufgabe:
Die Beschleunigung entspricht der ersten Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:
\(a = \dfrac{{dv}}{{dt}}\)
Weiters wissen wir: Die 1. Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an dieser Stelle x0 an. Wir zeichnen also die Tangenten wie folgt ein und sehen dass die Tangente an den Graphen v2 steiler verläuft als jene an v1
An der Stelle t0 ist die Steigung der Funktion v2 größer als die Steigung der Funktion v1.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\({v_2}\left( t \right) = g \cdot \tau \cdot \left( {1 - {e^{ - \dfrac{{t - 1}}{\tau }}}} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0\)
2. Teilaufgabe:
An der Stelle t0 ist die Steigung der Funktion v2 größer als die Steigung der Funktion v1.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Erstellen einer Gleichung der Funktion v2 (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × C: für die richtige Beschreibung (KA)