Aufgabe 4042
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kräfte - Aufgabe B_406
Teil c
Der Geschwindigkeitsverlauf einer durch eine bestimmte Kraft hervorgerufenen Bewegung ist durch die Funktion v gegeben: \(v\left( t \right) = 2 \cdot t - \dfrac{{{t^2}}}{2}\) mit
t | Zeit in Sekunden (s) |
v(t) | Geschwindigkeit zur Zeit t in Metern pro Sekunde (m/s) |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Begründen Sie, warum im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ 4 gilt: v(t) ≥ 0
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem das zugehörige Beschleunigung-Zeit-Diagramm für 0 ≤ t ≤ 4.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Beim Geschwindigkeitsverlauf handelt es sich um eine Funktion 2. Grades, die daher genau 2 Nullstellen haben muss. Diese liegen an den Stellen t=0 und t=4.
\(\begin{array}{l} v\left( t \right) = 2 \cdot t - \dfrac{{{t^2}}}{2}\\ v\left( {t = 0} \right) = 0\\ v\left( {t = 4} \right) = 2 \cdot 4 - \dfrac{{16}}{2} = 0 \end{array}\)
Wenn wir einen beliebigen Funktionswert zwischen den beiden Nullstellen berechnen, können wir sagen ob die Parabel nach unten oder oben offen ist bzw. ob die Werte dazwischen positiv oder negativ sind
\(v\left( {t = 1} \right) = 2 - \dfrac{1}{2} = 1,5 > 0\)
Der Graph der Funktion v mit den Nullstellen t1 = 0 und t2 = 4 und einem dazwischen liegenden positiven Funktionswert ist eine nach unten offene Parabel. Daher sind auch alle anderen Funktionswerte im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ 4 positiv.
Obige Zusammenhänge werden in der nachfolgenden Illustration veranschaulicht:
2. Teilaufgabe
Die Beschleunigung a ist die Änderung der Geschwindigkeit v(t) pro Zeit, also die 1. Ableitung von v(t)
\(\eqalign{ & v\left( t \right) = 2 \cdot t - \dfrac{{{t^2}}}{2} \cr & a(t) = \dfrac{{dv}}{{dt}} = 2 - \dfrac{{2t}}{2} = - t + 2 \to k = - 1{\text{ und }}d = 2 \cr} \)
Somit ergibt sich folgende Illustration:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der Graph der Funktion v mit den Nullstellen t1 = 0 und t2 = 4 und einem dazwischen liegenden positiven Funktionswert ist eine nach unten offene Parabel. Daher sind auch alle anderen Funktionswerte im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ 4 positiv.
2. Teilaufgabe:
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × D: für die richtige Begründung (KA)
Auch eine Begründung anhand einer Grafik ist als richtig zu werten.
2. Teilaufgabe:
1 × A: für das richtige Zeichnen des Beschleunigung-Zeit-Diagramms im gegebenen Intervall (KA)