Aufgabe 4049
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B-Aufgaben
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lampenproduktion - Aufgabe B_419
Teil d
Für die Beleuchtung medizinischer Gerate hat das Unternehmen mit dem Produkt Medilux ein Monopol.
- Bei einem Preis von 4 GE/ME betragt der Absatz 120 ME
- Bei einer Preissteigerung auf 5 GE/ME sinkt der Absatz auf 100 ME
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der linearen Preisfunktion der Nachfrage, die diesen Sachverhalt beschreibt.
[1 Punkt]
Bei einem Preis von 6 GE/ME betragt die Punktelastizität der Nachfrage –1,5.
- Aussage 1: Eine Preissteigerung um 10 % bewirkt einen Absatzrückgang um 50 %
- Aussage 2: Eine Preissenkung um 10 % bewirkt einen Absatzzuwachs um 15 %
- Aussage 3: Eine Preissenkung um 1 GE/ME bewirkt eine Erlössteigerung um 9 GE
- Aussage 4: Bei einem Preis von 6 GE/ME ist der Erlös maximal
- Aussage 5: Eine Preissteigerung bewirkt auch eine Erhöhung des Erlöses
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die gesuchte lineare Preisfunktion muss vom Typ \(p(x) = k \cdot x + d\) sein
Wir können der Angabe folgende Zusammenhänge entnehmen:
\(\eqalign{ & p(x = 120) = 4 \to k \cdot 120 + d = 4 \cr & p\left( {x = 100} \right) = 5 \to k \cdot 100 + d = 5 \cr} \)
Es liegen somit 2 Gleichungen in 2 Unbekannten vor, die wir wie folgt lösen:
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1: }}k \cdot 120 + d = 4 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}k \cdot 100 + d = 5 \cr & {\text{Gl1 - Gl2:}} \cr & 20 \cdot k = - 1 \cr & k = - \dfrac{1}{{20}} = - 0,05 \cr} \)
wir setzen k beispielsweise in Gl. 1 ein:
\(\eqalign{ & - \dfrac{{120}}{{20}} + d = 4 \cr & - 6 + d = 4 \cr & d = 10 \cr} \)
Somit ergibt sich die gesuchte lineare Gleichung der Preisfunktion der Nachfrage wie folgt:
\(p(x) = - 0,05 \cdot x + 10\)
2. Teilaufgabe
Die Preiselastizität der Nachfrage ist ein Maß dafür, um wie viele Prozent sich die Nachfrage der Konsumenten ändert, wenn sich der Preis um einen bestimmten Prozentsatz ändert. Die Elastizität ist immer negativ, höchstens Null. Für das Änderungsverhalten betrachtet man daher den Betrag der Elastizität, der im gegenständlichen Beispiel 1,5 - somit größer 1 - ist. Es liegt daher eine „elastische Nachfrage“ vor. D.h.: Eine Preisänderung bewirkt eine überproportionale Änderung der Nachfrage.
- Aussage 1: Falsch, denn wenn der Preis um 10% steigt, muss der Absatz um \(10\% \cdot 1,5 = 15\% \) und nicht um 50% sinken
- Aussage 2: Richtig, weil wenn der Preis um 10% sinkt, muss der Absatz um \(10\% \cdot 1,5 = 15\% \) zunehmen
- Aussage 3: Falsch, weil Erlös ist „verkaufte Mengeneinheit“ mal „Preis“. Die Elastizität macht aber eine Aussage zum Verhältnis von Preissenkung zum Absatz, nicht aber zum Verhältnis von Preissenkung zum Erlös.
- Aussage 4: Falsch, weil wir zur Beantwortung dieser Frage das Maximum der uns unbekannten Erlösfunktion berechnen müssten
- Aussage 5: Falsch, weil Erlös ist „verkaufte Mengeneinheit“ mal „Preis“. Da eine elastische Nachfrage vorliegt, bewirkt eine Preissteigerung einen überproportionalen Rückgang der verkauften Menge und somit sinkt der Erlös.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet
1. Teilaufgabe
\(p(x) = - 0,05 \cdot x + 10\)
2. Teilaufgabe
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Erstellen der Gleichung der Preisfunktion der Nachfrage (KA)
2. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Ankreuzen (KA)