Aufgabe 4055
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Spam - Aufgabe B_418
Teil c
Mit einem Aktienspam wird durch massenhaften Versand von E-Mails eine meist wertlose Aktie beworben, um deren Kurs in die Höhe zu treiben. Der Versender ist selbst Besitzer der Aktie, die er nach der Kurssteigerung gewinnbringend verkauft, worauf der Kurs wieder fallt. Für eine so beworbene Aktie hat es in den 4 Quartalen eines Jahres folgende prozentuale Kursänderungen gegeben:
Quartal | 1 | 2 | 3 | 4 |
Kursänderung | +5% | +20% | +25% | -50% |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die mittlere prozentuale Kursänderung pro Quartal.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
- Das geometrische Mittel verwendet man, wenn die Stichproben von einander abhängig sind, etwa wie die Kapitalrendite über mehrere Jahre bei unterschiedlicher Verzinsung über die Jahre hinweg. Keiner der gemessenen Werte darf Null oder Negativ sein. → wir entscheiden uns für das geometrische Mittel
- Das arithmetische Mittel verwendet man, wenn die Stichproben von einander unabhängig sind, etwa wie die Noten bei einer Prüfung von den verschiedenen Schülern der Klasse. → wir entscheiden uns gegen das arithmetische Mittel
Das geometrische Mittel errechnet sich wie folgt:
\({\overline x _{geom}} = \sqrt[n]{{{x_1} \cdot {x_2} \cdot ... \cdot {x_n}}} = \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\)
Achtung: Zuerst müssen wir die prozentuelle Kursänderungen auf Faktoren umrechnen, um die sich der Kurs gegenüber dem Vor-Quartal geändert hat:
Quartal | 1 | 2 | 3 | 4 |
Kursänderung | +5% | +20% | +25% | -50% |
Kursfaktor, bezogen auf 100% | 1,05 | 1,2 | 1,25 | 0,5 |
Das geometrische Mittel der Kursfaktoren, bezogen auf 100% Anfangskurs, errechnet sich wie folgt:
\(\root 4 \of {1.05*1.20*1.25*0.5} \approx 0,942025\)
Dh nach 4 Quartalen haben die Aktien noch einen Wert von 94% vom Zeitpunkt des Erwerbs.
Davon müssen wir noch 1 (entsprechend 100% Anfangswert) subtrahieren, um die mittlere prozentuale Kursänderung pro Quartal zu erhalten
\(0,942025 - 1 \approx - 0,0579 \buildrel \wedge \over = - 5,8\% \)
→ Die mittlere prozentuale Kursänderung beträgt - 5,8%.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die mittlere prozentuale Kursänderung pro Quartal beträgt rund –5,8 %
Lösungsschlüssel:
1 × B: für die richtige Berechnung der mittleren prozentualen Kursänderung pro Quartal (KA) Die angegebenen prozentualen Kursänderungen könnten auch als Kursänderungen in Bezug auf den Beginn des 1. Quartals aufgefasst werden. Eine diesem Ansatz entsprechende Berechnung der mittleren prozentualen Kursänderung pro Quartal ist dann als richtig zu werten.