Aufgabe 4121
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfel - Aufgabe B_115
Teil b
Mit Würfeln wird eine Treppe gebaut:
Das obige Bauschema soll auf diese Art fortgesetzt werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz, mit dem man die Anzahl der Würfel in der n-ten Ebene berechnen kann.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie, wie viele Würfel in der 7. Ebene liegen.
[1 Punkt]
Die Anzahl sn der Würfel, die für eine solche Treppe aus n Ebenen insgesamt benötigt wird, kann mithilfe der folgenden Formel bestimmt werden:
\({s_n} = 1,5 \cdot \left( {{n^2} + n} \right)\)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, aus wie vielen Ebenen eine solche Treppe besteht, wenn man insgesamt 360 Würfel verbaut.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Achtung vor einem möglichen Denkfehler: Es geht ausschließlich um die Anzahl der Würfel in der n-ten Ebene, es geht nicht um die gesamte Anzahl aller Würfel (also in allen Ebenen)
\(\eqalign{ & n = 1 \to {\text{es gibt 1 Ebene mit }}{a_{n = 1}} = 3{\text{ Würfeln}} \cr & n = 2 \to {\text{es gibt 2 Ebene mit }}{a_{n = 1}} = 3{\text{ und }}{a_{n = 2}} = 6{\text{ Würfeln}} \cr & n = 3 \to {\text{es gibt 3 Ebene mit }}{a_{n = 1}} = 3{\text{ und }}{a_{n = 2}} = 6{\text{ und }}{a_{n = 3}} = 9{\text{ Würfeln}} \cr} \)
Die (n+1)-Ebene hat immer um 3 Würfel mehr als die darüber liegende n-te Ebene. Das Bildungsgesetz lautet daher:
\({a_{n + 1}} = {a_n} + 3\)
Anmerkung:
- Das Bildungsgesetz \({a_{n + 1}} = {a_n} + 3\) nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss.
- Das Gegenteil zur rekursiven Bildungsvorschrift ist die „explizite“ Bildungsvorschrift die für dieses Beispiel \({a_n} = 3 \cdot n\)
2. Teilaufgabe:
Achtung vor einem möglichen Denkfehler: Es geht ausschließlich um die Anzahl der Würfel in der n-ten Ebene, es geht nicht um die gesamte Anzahl aller Würfel (also in allen Ebenen)
\(\eqalign{ & {a_n} = 3 \cdot n \cr & {a_7} = 3 \cdot 7 = 21 \cr} \)
3. Teilaufgabe:
Wir setzen in die gegebene Formel ein und formen so um, dass die vertraute Form einer quadratischen Gleichung entsteht:
\(\eqalign{ & {s_n} = 1,5 \cdot \left( {{n^2} + n} \right) \cr & 360 = 1,5 \cdot \left( {{n^2} + n} \right) \cr & {n^2} + n = 240 \cr & {n^2} + n - 240 = 0 \cr} \)
Wir verwenden zur Lösung der quadratischen Gleichung die abc-Formel:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr} \)
Somit:
\(\eqalign{ & {n^2} + n - 240 = 0 \cr & a = b = 1 \cr & c = - 240 \cr & {n_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {{1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 240} \right)} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {961} }}{2} = \frac{{ - 1 \pm 31}}{2} \cr & \left( {{n_1} = - 16} \right) \cr & {n_2} = 15 \cr} \)
→ Wenn man 360 Würfel verbaut, so besteht die Treppe aus 15 Ebenen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\({a_{n + 1}} = {a_n} + 3\)
2. Teilaufgabe:
a7=21
3. Teilaufgabe:
Wenn man 360 Würfel verbaut, so besteht die Treppe aus 15 Ebenen.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: Für das richtige Erstellen des rekursiven Bildungsgesetzes (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B1: Für das richtige Bestimmen der Anzahl der Würfel in der 7. Ebene (KA)
3. Teilaufgabe:
1 × B2: Für die richtige Berechnung der Anzahl der Ebenen (KA)