Aufgabe 4329
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gastwirtschaft - Aufgabe B_443
Teil b
Die Form eines Weizenbierglases kann näherungsweise durch die Rotation des Graphen der Funktion g um die x-Achse dargestellt werden (siehe nachstehende Abbildung).
Es gilt:
\(g\left( x \right) = - 0,00108 \cdot {x^3} + 0,046 \cdot {x^2} - 0,4367 \cdot x + 3\)
x, g(x) |
Koordinaten in cm |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den kleinsten Innendurchmesser des Weizenbierglases.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie das Füllvolumen des Weizenbierglases in Litern.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Stelle des kleinsten Innendurchmessers finden wir, indem wir die Extremstellen der gegebenen Funktion g(x) bestimmen. Dazu bilden wir die 1. Ableitung und setzen diese Null:
\(\begin{array}{l} g\left( x \right) = - 0,00108 \cdot {x^3} + 0,046 \cdot {x^2} - 0,4367 \cdot x + 3\\ g'\left( x \right) = - 3 \cdot 0,00108 \cdot {x^2} + 2 \cdot 0,046 \cdot x - 0,4367\\ g'\left( x \right) = - 0,00324 \cdot {x^2} + 0,092 \cdot x - 0,4367\\ \\ g'\left( x \right) = 0\\ - 0,00324 \cdot {x^2} + 0,092 \cdot x - 0,4367 = 0\\ \\ {x_1} = 6,02526\\ \left( {{x_2} = 22,3698} \right) \end{array}\)
Anhand der Grafik ist erkennbar, dass der Tiefpunkt an der Stelle x1 ist, ein (rechnerischer) Nachweis, dass x1 eine Minimumstelle ist, ist daher nicht erforderlich. Nun kennen wir die Stelle vom Minimum und berechnen dieses indem wir x1 in die ursprüngliche Funktion einsetzen:
\(\begin{array}{l} g\left( x \right) = - 0,00108 \cdot {x^3} + 0,046 \cdot {x^2} - 0,4367 \cdot x + 3\\ g\left( {x = 6,02526} \right) = - 0,00108 \cdot {6,02526^3} + 0,046 \cdot {6,02526^2} - 0,4367 \cdot 6,02526 + 3 = \\ g\left( {x = 6,02526} \right) = 1,8025 = r \end{array}\)
Nun kennen wir den minimalen Radius, aus dem sich der gesuchte minimale Innendurchmesser wie folgt ergibt:
\(d = 2 \cdot r = 3,605\)
→ Der kleinste Innendurchmesser des Weizenbierglases betragt rund 3,6 cm.
2. Teilaufgabe:
Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht Vx, gegeben durch:
\({V_x} = \pi \cdot \int\limits_a^b {{y^2}\,\,dx} \)
Wir setzen die gegebene Funktion
\(g\left( x \right) = - 0,00108 \cdot {x^3} + 0,046 \cdot {x^2} - 0,4367 \cdot x + 3\)
ein und erhalten
\(\begin{array}{l} {V_x} = \pi \cdot \int\limits_a^b {g{{\left( x \right)}^2}\,\,dx} = \\ = \pi \cdot \int\limits_2^{25} {\left( { - 0,00108 \cdot {x^3} + 0,046 \cdot {x^2} - 0,4367 \cdot x + 3} \right)} \,\,dx \approx \\ \approx 678,64 \end{array}\)
→ Das Füllvolumen des Weizenbierglases beträgt rund 680 cm³ oder 0,68 l.
Die Lösung erfolgt mittels Technologieeinsatz:
- GeoGebra: π*Integral( (-0.00108x^3+0.046x^2-0.4367x+3)^2, x, 2, 25 )
- 2. Icon: “Berechne Numerisch”
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der kleinste Innendurchmesser des Weizenbierglases betragt rund 3,6 cm.
2. Teilaufgabe:
Das Füllvolumen des Weizenbierglases beträgt rund 680 cm³ oder 0,68 l.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x B1: für die richtige Berechnung des kleinsten Innendurchmessers
2. Teilaufgabe:
1 x B2: für die richtige Berechnung des Füllvolumens in Litern