Aufgabe 4340
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wein - Aufgabe B_447
Teil b
Es gibt mehrere Messskalen für den Zuckergehalt von Wein. Die Skala der Klosterneuburger Mostwaage ist die in Österreich gebräuchlichste Skala. In Deutschland wird häufig die Oechsle-Skala verwendet. Der Zusammenhang zwischen den beiden Skalen wird mit der folgenden Funktion O beschrieben:
\(O\left( K \right) = K \cdot \left( {a \cdot k + b} \right){\text{ mit a}}{\text{,b > 0}}\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie den Graphen der Funktion O an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
Graph 1:
Graph 2:
Graph 3:
Graph 4:
Graph 5:
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir multiplizieren die gegebene Gleichung aus und erhalten eine quadratische Gleichung in K:
\(\eqalign{ & O\left( K \right) = K \cdot \left( {a \cdot K + b} \right){\text{ mit a}}{\text{,b > 0}} \cr & O\left( K \right) = a \cdot {K^2} + b \cdot K \cr} \)
Graph 1,2 und 5: Damit scheiden die drei linearen Funktionen schon mal aus...
Graph 3 hat folgenden Funktionswert: \(O(K = 0) = b\)
Wir überprüfen ob die Funktionsgleichung O(K) an dieser Stelle (K=0) den selben Funktionswert b aufweist:
\(\eqalign{ & O\left( K \right) = a \cdot {K^2} + b \cdot K \cr & O(K = 0) = a \cdot {0^2} + b \cdot 0 = 0 \ne b \cr} \)
Nein, das ist nicht der Fall, Graph 3 kommt daher nicht in Frage
Graph 4 hat seine Nullstellen bei
\(\eqalign{ & K = 0 \cr & K = - \dfrac{b}{a} \cr} \)
Wir überprüfen ob die Funktionsgleichung O(K) an diesen beiden Stellen tatsächlich ihre Nullstellen hat:
\(\eqalign{ & O\left( {K = 0} \right) = a \cdot {0^2} + b \cdot 0 = 0 \cr & O(K = - \dfrac{b}{a}) = a \cdot {\left( { - \dfrac{b}{a}} \right)^2} + b \cdot \left( { - \dfrac{b}{a}} \right) = \cr & = \dfrac{{a \cdot {b^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{b^2}}}{a} = 0 \cr} \)
→ Jawohl, an beiden Stellen an denen der Graph eine Nullstelle hat, hat auch die Funktionsgleichung ihre Nullstellen -- > Graph 4
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der Graph 4 ist der gesuchte Graph der gegebenen Funktion
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x C: für das richtige Ankreuzen