Aufgabe 4410
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stand-up-Paddling - Aufgabe B_480
Stand-up-Paddling ist eine Wassersportart, bei der eine Person aufrecht auf einem Board steht und paddelt.
Teil a
In der nachstehenden Abbildung ist der Umriss des hinteren Teils eines Boards von oben betrachtet dargestellt. Die Begrenzungslinie kann näherungsweise durch eine Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c\) beschrieben werden.
x, f(x) |
Koordinaten in cm |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu A und B ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.
[2 Punkte]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Koeffizienten a, b und c.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Damit wir die drei Unbekannten a, b und c berechnen können, benötigen wir 3 unabhängige Bestimmungsgleichungen.
- Die Punkte A und B müssen die Gleichung f(x) erfüllen.
- Da A ein Hochpunkt ist muss die Tangente in A die Steigung Null haben. Dh die 1. Ableitung f‘(xA)=0.
Daher können wir die 3 Bestimmungsgleichungen wie folgt formulieren:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c \cr & \cr & A\left( {10\left| {12} \right.} \right) \to f\left( {x = 10} \right) = 12 \cr & {10^4} \cdot a + {10^2} \cdot b + c = 12 \cr & \cr & B(20\left| {0) \to f\left( {x = 20} \right) = } \right.0 \cr & {20^4} \cdot a + {20^2} \cdot b + c = 12 \cr & \cr & f'\left( x \right) = 4 \cdot a \cdot {x^3} + 2 \cdot b \cdot x \cr & f'\left( {x = 10} \right) = 0 \cr & 4 \cdot {10^3} \cdot a + 2 \cdot 10 \cdot b = 0 \cr} \)
Man kann wie folgt zusammenfassen, wobei die 1. Darstellungsform ideal für die Eingabe in GeoGebra ist, während die 2. Darstellungsform ideal für Wolfram Alpha ist.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c \cr & f\left( {x = 10} \right) = 12 \cr & f(x = 20) = 0 \cr & f'(x = 10) = 0 \cr & \cr & {10^4}a + {10^2}b + c = 12; \cr & {20^4}a + {20^2}b + c = 0; \cr & 4*{10^3}a + 2*10b = 0; \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Wir berechnen die Koeffizienten mit Hilfe von Technologie zu:
\(a = - \dfrac{1}{{7500}};\,\,\,\,\,b = \dfrac{2}{{75}};\,\,\,\,\,c = \dfrac{{32}}{3};\)
Wolfram Alpha:
10^(4)a+10^(2)b+c=12;20^(4)a+20^(2)b+c=0;4*10^(3)a+2*10b=0;
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c \cr & f\left( {x = 10} \right) = 12 \cr & f(x = 20) = 0 \cr & f'(x = 10) = 0 \cr & \cr & {10^4}a + {10^2}b + c = 12; \cr & {20^4}a + {20^2}b + c = 0; \cr & 4*{10^3}a + 2*10b = 0; \cr} \)
2. Teilaufgabe
\(a = - \dfrac{1}{{7500}};\,\,\,\,\,b = \dfrac{2}{{75}};\,\,\,\,\,c = \dfrac{{32}}{3};\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A1: für das richtige Erstellen der beiden Gleichungen mithilfe der Koordinaten der beiden Punkte
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung
2. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Berechnen der Koeffizienten