Aufgabe 4445
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zahlen können auch komplex sein - Aufgabe B_510
Viele Vorgange in der Elektrotechnik können modellhaft mithilfe von komplexen Zahlen beschrieben werden. Dabei wird die imaginäre Einheit mit j bezeichnet.
Teil b
Zu jeder komplexen Zahl \(z = a + j \cdot b{\text{ mit a}}{\text{,b}} \in \mathbb{R}\) gibt es die konjugiert komplexe Zahl \(\overline z = a - j \cdot b\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie ganz allgemein, dass \(z \cdot \overline z \) eine reelle Zahl ist.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir multiplizieren die Zahl und die dazu konjugiert komplexe Zahl wie folgt:
\(\begin{array}{l} z = a + j \cdot b\\ \overline z = a - j \cdot b\\ \\ z \cdot \overline z = \left( {a + j \cdot b} \right) \cdot \left( {a - j \cdot b} \right) = \\ = {a^2} - j \cdot a \cdot b + j \cdot a \cdot b - {j^2}{b^2}\\ \\ j = \sqrt { - 1} \to {j^2} = - 1\\ \\ z \cdot \overline z = {a^2} + {b^2} \end{array}\)
Anmerkung: Wir hätten auch die 3. binomische Formel verwenden können, wollten aber explizit zeigen, dass sich die beiden komplexen Summanden aufheben.
Mit a, b ∈ ℝ ist auch a2 + b2 ∈ ℝ.
→ Im Produkt aus einer komplexen Zahl mit seiner konjugiert komplexen Zahl kommt nur mehr ein Realteil aber kein Imaginärteil vor. Dh. es handelt sich um eine reelle Zahl.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Im Produkt aus einer komplexen Zahl mit seiner konjugiert komplexen Zahl kommt nur mehr ein Realteil aber kein Imaginärteil vor. Dh. es handelt sich um eine reelle Zahl.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Zeigen.