Aufgabe 4490
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kartenhaus - Aufgabe B_520
Aus Spielkarten kann man ein Kartenhaus bauen.
Teil b
Die Gesamtanzahl sn der Karten für ein n-stöckiges Kartenhaus kann mit der nachstehenden Formel ermittelt werden.
\({s_n} = 3 \cdot \dfrac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} - n\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Gesamtanzahl der Karten, die für ein 50-stöckiges Kartenhaus benötigt werden. [0 / 1 P.]
Alexander hat 3 vollständige Kartensets zu je 32 Karten zur Verfügung und möchte ein Kartenhaus mit möglichst vielen Stockwerken bauen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Anzahl der Stockwerke, die Alexanders Kartenhaus höchstens haben kann.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir setzen in die Formel ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} {s_n} = 3 \cdot \dfrac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} - n\\ {s_{50}} = 3 \cdot \dfrac{{50 \cdot \left( {50 + 1} \right)}}{2} - n\\ {s_{50}} = 3 \cdot 1275 - 50 = 3775 \end{array}\)
→ Für ein 50-stöckiges Kartenhaus werden insgesamt 3 775 Karten benötigt.
Nicht teil der Aufgabenstellung:
Wir nützen die Gelegenheit und überprüfen die Lösung aus der 1. Teilaufgabe mit 5 Stockwerken. Dort hatten wir 40 insgesamt benötigte Karten ermittelt:
\(\begin{array}{l} {s_n} = 3 \cdot \dfrac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} - n\\ {s_5} = 3 \cdot \dfrac{{5 \cdot \left( {5 + 1} \right)}}{2} - n\\ {s_5} = 3 \cdot 15 - 5 = 45 - 5 = 40{\rm{ }}...{\rm{ wzbw}} \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Man kann die Berechnung mittels Technologieeinsatz lösen, oder zur guten alten abc-Formel greifen:
\(\begin{array}{l} {s_n} = 3 \cdot \dfrac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} - n\\ \\ 3 \cdot 32 = 3 \cdot \dfrac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} - n\\ 96 = 1,5 \cdot {n^2} + 0,5n\\ 1,5 \cdot {n^2} + 0,5 \cdot n - 96 = 0\\ \\ {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ {n_{1,2}} = \dfrac{{ - 0,5 \pm \sqrt {{{0,5}^2} + 4 \cdot 1,5 \cdot 96} }}{{2 \cdot 1,5}}\\ {n_1} \approx \dfrac{{ - 0,5 + 24}}{3} \approx 7,835\\ \left( {{n_2} \approx \dfrac{{ - 0,5 - 24}}{3} \approx - 8,16} \right) \end{array}\)
→ Da wir abrunden müssen, kann Alexanders Kartenhaus höchstens 7 vollständige Stockwerke haben.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Für ein 50-stöckiges Kartenhaus werden insgesamt 3 775 Karten benötigt.
2. Teilaufgabe
Da wir abrunden müssen, kann Alexanders Kartenhaus höchstens 7 vollständige Stockwerke haben.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Gesamtanzahl der Karten.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Anzahl der Stockwerke.