Aufgabe 4494
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tunnelvortrieb - Aufgabe B_521
Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.
Teil c
Beim Ausbau des Tunnels werden vorgefertigte Betonelemente eingesetzt. Die Breite dieser Betonelemente ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5 m und der Standardabweichung σ = 0,005 m. Zur Qualitätssicherung werden Zufallsstichproben mit dem Stichprobenumfang n = 10 entnommen und die Stichprobenmittelwerte der Breiten ermittelt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den Erwartungswert \({\mu _{\overline x }}\) und die Standardabweichung \({\sigma _{\overline x }}\) für die Verteilung dieser Stichprobenmittelwerte an.
- \({\mu _{\overline x }}=\)
- \(\sigma _{\overline x }=\)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Stichprobenmittelwerte zwischen 4,996 m und 5,004 m liegen.
[0 / 1 P.]
- f1 ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem Stichprobenumfang n1 = 6.
- f2 ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem Stichprobenumfang n2.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie mithilfe der nachstehenden Abbildung den Stichprobenumfang n2.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Normalverteilung einer Stichprobe + zentraler Grenzwertsatz:
Der Erwartungswert und die Standardabweichung beziehen sich auf eine sehr große und zugleich bekannte Grundgesamtheit. Hier wird aber nur von einer Stichprobe mit n=10 ausgegangen.
- Der Erwartungswert gilt, gemäß dem zentralen Grenzwertsatz, für die Grundgesamtheit und für die Stichprobe unverändert.
- Die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit müssen wir aber auf den Standardfehler σS der Stichprobe umrechnen. Dies geschieht, indem wir die Standardabweichung der Grundgesamtheit durch die Wurzel vom Stichprobenumfang dividieren.
\(\begin{array}{l} {\mu _{\overline x }} = \mu = 5{\rm{m}}\\ {\sigma _{\overline x }} = \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }} = \dfrac{{0.005}}{{\sqrt {10} }} = 0,001581{\rm{m}} \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
- Geogebra Ansicht Wahrscheinlichkeitsrechner:
- Normalverteilung mit folgenden Eingabewerten
\(\eqalign{ & \eta = 5;\,\,\,\,\, \cr & \sigma = 0,00158 \cr & {\text{linke Grenze:}}\,\,4,996 \cr & {\text{rechte Grenze: 5}}{\text{,004}} \cr} \)
Liefert:
\(P\left( {4,996 \leqslant \overline X \leqslant 5,004} \right) \approx 0,9886\)
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 98,9 %.
3. Teilaufgabe:
Die Dichtefunktion von f1 verläuft flacher als die Dichtefunktion von f2 daher muss f2 auf einem größeren Stichprobenumfang basieren als f1: n2>n1
Die beiden Dichtefunktionen müssen denselben Erwartungswert haben, was auch der Fall ist.
Für die Standardabweichungen können wir der der Grafik folgenden Zusammenhang entnehmen:
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1: }}{\sigma _2} = \dfrac{{{\sigma _1}}}{2} \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}{\sigma _1} = \dfrac{\sigma }{{\sqrt {{n_1}} }} = \frac{\sigma }{{\sqrt 6 }} \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: }}{\sigma _2} = \dfrac{\sigma }{{\sqrt {{n_2}} }} \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.3 und Gl}}{\text{.2 in Gl}}{\text{.1: }} \cr & \dfrac{\sigma }{{\sqrt {{n_2}} }} = \dfrac{{\frac{\sigma }{{\sqrt 6 }}}}{2} = \dfrac{\sigma }{{2 \cdot \sqrt 6 }} \cr & \cr & \sqrt {{n_2}} = 2 \cdot \sqrt 6 \cr & {n_2} = {2^2} \cdot 6 = 24 \cr} \)
Der Stichprobenumfang n2 = 24 Stück und damit viermal so groß wie n1
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & {\mu _{\overline x }} = \mu = 5{\text{m}} \cr & {\sigma _{\overline x }} = 0,001581{\text{m}} \cr} \)
2. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 98,9 %.
3. Teilaufgabe
Der Stichprobenumfang n2 = 24 Stück
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Erwartungswerts und der richtigen Standardabweichung.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von n2.