Aufgabe 4507
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Waldführungen - Aufgabe B_526
Ein Naturschutzzentrum bietet verschiedene Waldführungen an.
Teil b
Für eine Familientour werden die möglichen Verkaufszahlen von Erwachsenenkarten und Kinderkarten untersucht. In der nachstehenden Abbildung ist der Lösungsbereich für die Anzahl der verkauften Kinderkarten und Erwachsenenkarten dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
[0 / 1 P.]
Der Lösungsbereich liegt ____1_____ , da ____2____ für die Familientour verkauft werden können.
- Lücke 1_1: unterhalb der Geraden a
- Lücke 1_2: unterhalb der Geraden b
- Lücke 1_3: links von der Geraden c
- Lücke 2_1: höchstens 30 Kinderkarten
- Lücke 2_2: höchstens 20 Kinderkarten
- Lücke 2_3: mindestens 40 Karten
Die Zielfunktion Z beschreibt den Erlös in Euro bei einer Familientour:
\(Z\left( {x,y} \right) = 4 \cdot x + 6 \cdot y\)
x |
Anzahl der verkauften Kinderkarten |
y | Anzahl der verkauften Erwachsenenkarten |
Dieser Erlös soll maximiert werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Gerade ein, auf der der optimale Wert der Zielfunktion im Lösungsbereich angenommen wird.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung die optimalen Verkaufszahlen ab.
[0 / 1 P.]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den maximalen Erlös.
[0 / 1 P.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Für die 1. Lücke sind grundsätzlich alle 3 Satzteile zulässig.
Für die 2. Lücke gilt:
- Lücke 2_1: bedeutet links von der Geraden c → Lücke 1_3 = richtige Lösung
- Lücke 2_2: keine zulässige Aussage für die Kinderkarten, die Aussage würde lediglich für die Erwachsenenkarten gelten
- Lücke 2_3: „mindestens“ würde einen Zielbereich oberhalb der Geraden erfordern, daher: keine zulässige Aussage
Der Lösungsbereich liegt links von der Geraden c, da höchstens 30 Kinderkarten für die Familientour verkauft werden können.
2. Teilaufgabe
Wir formen die Zielfunktion so um, dass sie einer Geradengleichung vom Typ y=kx+d entspricht.
\(\eqalign{ & z\left( {x,y} \right) = 4 \cdot x + 6 \cdot y \cr & z - 4 \cdot x = 6 \cdot y \cr & y = - \frac{4}{6}x + \frac{1}{6}z \cr & k = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3} \cr} \)
Wir haben nun eine vertraute Gleichung für die Zielfunktion. Deren k, also die Steigung, beträgt -2/3, dh die Gerade fällt. Wir können k bzw. den Bruch auch mit 10 Multiplizieren, damit wir Werte erhalten, die man exakt in das gegebene Koordinatensystem eintragen kann.
Wo sonst das d steht, findet sich allerdings der Ausdruck
\(\dfrac{1}{6}z = d = 0\)
Indem wir z=0 setzen, wird d=0. Das ist darum kein Problem, weil d nur festlegt, wo die Gerade mit \(k = - \dfrac{2}{3}\) die y-Achse schneidet. Diesen Wert bestimmen wir aber, indem wir die zunächst an einer beliebigen Stelle eingezeichnete Zielgerade mit obigem k so parallel verschieben, bis sie in einem Punkt den durch die Ungleichungen gegebenen zulässigen Lösungsbereich berührt. Dieser Punkt hat die Koordinaten (20|20). Somit liegt auch die exakte Lage der Zielgeraden fest.
3. Teilaufgabe:
Der Punkt an dem die Zielgerade den zulässigen Lösungsbereich berührt hat die Koordinaten (20|20).
→Die optimalen Verkaufszahlen lauten: 20 Kinder- und 20 Erwachsenenkarten
4. Teilaufgabe:
Zur Ermittlung vom maximalen Erlös setzen wir die optimalen Verkaufszahlen in die Zielfunktion wie folgt ein:
\(\eqalign{ & Z(x,y) = 4x + 6y \cr & Z(20,20) = 4 \cdot 20 + 6 \cdot 20 = 80 + 120 = 200 \cr} \)
→ Der maximale Erlös tritt bei 20 Kinder- und 20 Erwachsenenkarten und beträgt 200€.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Lösungsbereich liegt links von der Geraden c, da höchstens 30 Kinderkarten für die Familientour verkauft werden können.
2. Teilaufgabe
3. Teilaufgabe
Die optimalen Verkaufszahlen lauten: 20 Kinder- und 20 Erwachsenenkarten
4. Teilaufgabe
Der maximale Erlös tritt bei 20 Kinder- und 20 Erwachsenenkarten und beträgt 200€.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen derjenigen Geraden, auf der der optimale Wert der Zielfunktion Z im Lösungsbereich angenommen wird.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Ablesen der richtigen optimalen Verkaufszahlen.
4. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des maximalen Erlöses.