Aufgabe 4535
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Körpermaße – Aufgabe B_533
Teil c
Der Median des Körperfettanteils von Burschen ist altersabhängig (siehe nachstehende Tabelle).
Alter in Jahren | 10 | 12 | 14 | 16 |
Median des Körperfettanteils in % | 18,9 | 17,8 | 14,1 | 15,7 |
Der Median des Körperfettanteils kann in Abhängigkeit vom Alter t durch die Polynomfunktion 3. Grades f mit
\(f\left( t \right) = a \cdot {t^3} + b \cdot {t^2} + c \cdot t + d\)
modelliert werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von f.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie diese Koeffizienten.
[0 / 1 P.]
Eine Polynomfunktion 3. Grades h mit
\(h\left( x \right) = {a_1} \cdot {x^3} + {b_1} \cdot {x^2} + {c_1} \cdot x + {d_1}\)
hat 2 lokale Extremstellen.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, welches Vorzeichen die Diskriminante der Gleichung h′(x) = 0 haben muss. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & 1:f\left( {10} \right) = 18,9 \cr & 2:f\left( {12} \right) = 17,8 \cr & 3:f\left( {14} \right) = 14,1 \cr & 4:f\left( {16} \right) = 15,7 \cr} \)
oder
\(\eqalign{ & 1:a \cdot {10^3} + b \cdot {10^2} + c \cdot 10 + d = 18,9 \cr & 2:a \cdot {12^3} + b \cdot {12^2} + c \cdot 12 + d = 17,8 \cr & 3:a \cdot {14^3} + b \cdot {14^2} + c \cdot 14 + d = 14,1 \cr & 4:a \cdot {16^3} + b \cdot {16^2} + c \cdot 16 + d = 15,7 \cr} \)
2. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & a = \frac{{79}}{{480}} \approx 0,1645 \cr & b = - \frac{{25}}{4} = - 6,25 \cr & c = \frac{{1849}}{{24}} \approx 77,04 \cr & d = - \frac{{2911}}{{10}} = - 291,1 \cr} \)
3. Teilaufgabe
Das Vorzeichen der Diskriminante ist positiv, weil die quadratische Funktion h′ zwei Nullstellen hat.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Koeffizienten.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Angeben und Begründen.