Arkusfunktionen
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Formeln
Arkusfunktionen als Umkehrung der Winkelfunktionen
Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.
zugrunde liegende Strecke Funktionswert = Strecke |
trigonometrische Winkelfunktion |
zugrunde liegender Winkel Funktionswert Winkel |
Arkusfunktion Argument = Strecke |
\(y=\) | \(\sin \left( \alpha \right)\) | \(\alpha = \) | \(\arcsin \left( y \right)\) |
\(x=\) | \(\cos \left( \alpha \right)\) | \(\alpha =\) | \(\arccos \left( x \right)\) |
\(\dfrac{y}{x}=\) | \(\tan \left( \alpha \right)\) | \(\alpha =\) | \(\arctan \left( {\dfrac{y}{x}} \right)\) |
\(\dfrac{x}{y}=\) | \(\cot \left( \alpha \right)\) | \(\alpha =\) | \(arccot \left( {\dfrac{x}{y}} \right)\) |
Illustration von Funktionswert und zugehörigem Argument bei trigonometrischen Winkelfunktionen
Achtung: Auf Taschenrechnern findet sich oft die Beschriftung sin-1 für den Arcussinus. Dies ist mit Vorsicht zu genießen, denn \(\operatorname{arcsinx} \ne \dfrac{1}{{\sin x}}\)
Definitions- und Wertemengen der Arkusfunktionen
Für die Hauptwerte der Arkusfunktionen gelten folgende Definitions- und Wertemengen:
Funktion | \(\arcsin \left( x \right)\) | \(\arccos \left( x \right)\) | \(\arctan \left( x \right)\) | \({\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( x \right)\) |
Definitionsmenge Df | \({D_f} = \left[ { - 1;1} \right]\) | \({D_f} = \left[ { - 1;1} \right]\) | \({D_f} = {\Bbb R}\) | \({D_f} = {\Bbb R}\) |
Wertemenge Wf | \({W_f} = \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) | \({W_f} = \left[ {0;\pi } \right]\) | \({W_f} = \left] { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right[\) | \({W_f} = \left] {0;\pi } \right[\) |
Nullstellen | 0 | 1 | 0 | - |
Wendepunkte | 0 | 0 | 0 | 0 |
Asymptoten | - | - | \(\eqalign{ & y = \dfrac{\pi }{2} \cr & y = - \dfrac{\pi }{2} \cr}\) | \(\eqalign{ & y = 0 \cr & y = \pi \cr} \) |
Haupt- und Nebenwerte der Arkusfunktionen
Zufolge der Periodizität der zugrunde liegenden trigonometrischen Winkelfunktionen - die innerhalb jeder einzelnen Periodendauer sämtliche Funktionswerte einmalig durchlaufen und somit eindeutig umkehrbar sind - unterscheidet man bei den Arkusfunktionen zwischen Hauptwert und Nebenwerten.
Illustration der Graphen der Hauptwerte der Arkusfunktionen
Pythagoräischer Lehrsatz für die Arkusfunktionen
Neben dem Satz des Pythagoras für rechtwinkelige Dreiecke und dem trigonometrischen Pythagoras für Winkelfunktionen kann man auch einen pythagoräischen Lehrsatz für die Arkusfunktionen anschreiben. Bedenke: Die Länge der Hypotenuse wird bei allen 3 Darstellungsformen auf 1 normiert.
\(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} = {c^2}=1 \cr & {\cos ^2}\left( \alpha \right) + {\sin ^2}\left( \alpha \right) = 1 \cr & {\cos ^2}\left( {\arcsin \left( x \right)} \right) + {\sin ^2}\left( {\arccos \left( x \right)} \right) = 1 \cr} \)
Zusammenhänge der Arkusfunktionen
Man kann folgende - eher selten verwendete - Zusammenhänge für die Arkusfunktionen anschreiben:
\(\eqalign{ & \sin \left( {\arccos \left( x \right)} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} = \cos \left( {\arcsin \left( x \right)} \right) \cr & \sin \left( {\arctan \left( x \right)} \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \cos \left( {\arctan \left( x \right)} \right) \cr & \cr & \arcsin \left( x \right) + \arccos \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = 90^\circ \cr & \arctan \left( x \right) + \operatorname{arccot} \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \cr & \operatorname{arc} \sec \left( x \right) + \operatorname{arc} \csc \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \cr & \cr & \arcsin ( - x) = - \arcsin (x) \cr & \arccos ( - x) = \pi - \arccos \left( x \right) \cr & \arctan \left( { - x} \right) = - \arctan (x) \cr & \operatorname{arccot} ( - x) = \pi - \operatorname{arccot} (x) \cr} \)
Zusammenhang der Funktionswerte einer Arkusfunktion zu den anderen 3 Arkusunktionen bei gleichem Winkel
Man kann folgende Beziehungen zwischen einer Arkusfunktion und den jeweiligen 3 anderen Arkusfunktionen anschreiben
\(\eqalign{
& \arcsin \left( x \right) = \arccos \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = \arctan \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}} \right) \cr
& \arccos \left( x \right) = \arcsin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = \arctan \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) \cr
& \arctan \left( x \right) = \arcsin \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\frac{1}{x}} \right) \cr
& \operatorname{arccot} \left( x \right) = \arcsin \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arccos \left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{x}} \right) \cr} \)
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