Arkussinus
Der Arkussinus arcsin ist die Umkehrfunktion der trigonometrischen Winkelfunktion sin. Die Arkusfunktionen werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Arkusfunktionen als Umkehrung der Winkelfunktionen
Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.
zugrunde liegende Strecke Funktionswert = Strecke |
trigonometrische Winkelfunktion |
zugrunde liegender Winkel Funktionswert Winkel |
Arkusfunktion Argument = Strecke |
\(y=\) | \(\sin \left( \alpha \right)\) | \(\alpha = \) | \(\arcsin \left( y \right)\) |
\(x=\) | \(\cos \left( \alpha \right)\) | \(\alpha =\) | \(\arccos \left( x \right)\) |
\(\dfrac{y}{x}=\) | \(\tan \left( \alpha \right)\) | \(\alpha =\) | \(\arctan \left( {\dfrac{y}{x}} \right)\) |
\(\dfrac{x}{y}=\) | \(\cot \left( \alpha \right)\) | \(\alpha =\) | \(arccot \left( {\dfrac{x}{y}} \right)\) |
Illustration von Funktionswert und zugehörigem Argument bei trigonometrischen Winkelfunktionen
Achtung: Auf Taschenrechnern findet sich oft die Beschriftung sin-1 für den Arcussinus. Dies ist mit Vorsicht zu genießen, denn \(\operatorname{arcsinx} \ne \dfrac{1}{{\sin x}}\)
Definitions- und Wertemengen der Arkusfunktionen
Für die Hauptwerte der Arkusfunktionen gelten folgende Definitions- und Wertemengen:
Funktion | \(\arcsin \left( x \right)\) | \(\arccos \left( x \right)\) | \(\arctan \left( x \right)\) | \({\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( x \right)\) |
Definitionsmenge Df | \({D_f} = \left[ { - 1;1} \right]\) | \({D_f} = \left[ { - 1;1} \right]\) | \({D_f} = {\Bbb R}\) | \({D_f} = {\Bbb R}\) |
Wertemenge Wf | \({W_f} = \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) | \({W_f} = \left[ {0;\pi } \right]\) | \({W_f} = \left] { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right[\) | \({W_f} = \left] {0;\pi } \right[\) |
Nullstellen | 0 | 1 | 0 | - |
Wendepunkte | 0 | 0 | 0 | 0 |
Asymptoten | - | - | \(\eqalign{ & y = \dfrac{\pi }{2} \cr & y = - \dfrac{\pi }{2} \cr}\) | \(\eqalign{ & y = 0 \cr & y = \pi \cr} \) |
Haupt- und Nebenwerte der Arkusfunktionen
Zufolge der Periodizität der zugrunde liegenden trigonometrischen Winkelfunktionen - die innerhalb jeder einzelnen Periodendauer sämtliche Funktionswerte einmalig durchlaufen und somit eindeutig umkehrbar sind - unterscheidet man bei den Arkusfunktionen zwischen Hauptwert und Nebenwerten.
Illustration der Graphen der Hauptwerte der Arkusfunktionen
Pythagoräischer Lehrsatz für die Arkusfunktionen
Neben dem Satz des Pythagoras für rechtwinkelige Dreiecke und dem trigonometrischen Pythagoras für Winkelfunktionen kann man auch einen pythagoräischen Lehrsatz für die Arkusfunktionen anschreiben. Bedenke: Die Länge der Hypotenuse wird bei allen 3 Darstellungsformen auf 1 normiert.
\(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} = {c^2}=1 \cr & {\cos ^2}\left( \alpha \right) + {\sin ^2}\left( \alpha \right) = 1 \cr & {\cos ^2}\left( {\arcsin \left( x \right)} \right) + {\sin ^2}\left( {\arccos \left( x \right)} \right) = 1 \cr} \)
Zusammenhänge der Arkusfunktionen
Man kann folgende - eher selten verwendete - Zusammenhänge für die Arkusfunktionen anschreiben:
\(\eqalign{ & \sin \left( {\arccos \left( x \right)} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} = \cos \left( {\arcsin \left( x \right)} \right) \cr & \sin \left( {\arctan \left( x \right)} \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \cos \left( {\arctan \left( x \right)} \right) \cr & \cr & \arcsin \left( x \right) + \arccos \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = 90^\circ \cr & \arctan \left( x \right) + \operatorname{arccot} \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \cr & \operatorname{arc} \sec \left( x \right) + \operatorname{arc} \csc \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \cr & \cr & \arcsin ( - x) = - \arcsin (x) \cr & \arccos ( - x) = \pi - \arccos \left( x \right) \cr & \arctan \left( { - x} \right) = - \arctan (x) \cr & \operatorname{arccot} ( - x) = \pi - \operatorname{arccot} (x) \cr} \)
Zusammenhang der Funktionswerte einer Arkusfunktion zu den anderen 3 Arkusunktionen bei gleichem Winkel
Man kann folgende Beziehungen zwischen einer Arkusfunktion und den jeweiligen 3 anderen Arkusfunktionen anschreiben
\(\eqalign{
& \arcsin \left( x \right) = \arccos \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = \arctan \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}} \right) \cr
& \arccos \left( x \right) = \arcsin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = \arctan \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) \cr
& \arctan \left( x \right) = \arcsin \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\frac{1}{x}} \right) \cr
& \operatorname{arccot} \left( x \right) = \arcsin \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arccos \left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{x}} \right) \cr} \)
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Aufgaben
Aufgabe 4200
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Baumhaus - Aufgabe A_116
Teil a
Eine Familie plant, ein Baumhaus aus Holz zu errichten. Der Baum dafür steht in einem horizontalen Teil des Gartens. Eine 3,2 m lange Leiter wird angelehnt und reicht dann vom Boden genau bis zum Einstieg ins Baumhaus in einer Hohe von 2,8 m.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie denjenigen Winkel, unter dem die Leiter gegenüber dem horizontalen Boden geneigt ist.
[1 Punkt]
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Aufgabe 1512
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Winkel bestimmen
Für einen Winkel \(\alpha \in \left[ {0^\circ ;360^\circ } \right]\) gilt: \(\sin \left( \alpha \right) = 0,4\) und \(\cos \left( \alpha \right) < 0\)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Winkel \(\alpha\) in Grad!