Dividend
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Formeln
Bruch
Ein Bruch ist eine Schreibweise für eine Zahl. Der Bruch besteht aus einem Bruchstrich, der dem Rechenzeichen "Dividiert" entspricht, einer Zahl als Zähler, die oberhalb vom Bruchstrich steht und einer Zahl als Nenner, die unterhalb vom Bruchstrich steht. Der Nenner, der auch Teiler oder Divisor genannt wird, gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde. Der Zähler, der auch Dividend genannt wird, gibt an wie viele Teile vom Nenner genommen werden. Dividiert man den Dividend durch den Divisor, so erhält man eine Dezimalzahl, die Quotient genannt wird. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an. Verbal sagt man statt Bruchstich gerne "gebrochen durch" oder "geteilt durch". Geschrieben wird der Bruchstrich als waagrechter oder schräger Strich der zwischen dem Zähler und den Nenner steht.
\({\text{Wert des Bruchs = }}\dfrac{{{\text{Zähler}}}}{{{\text{Nenner}}}}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{Dividend}}}}{{{\text{Divisor}}}}{\text{ = Quotient}}\)
Brüche lassen sich durch Division in Dezimalzahlen umwandeln. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an.
Beispiel:
Der Bruch vier Fünftel entspricht der Dezimalzahl 0,8
\(\dfrac{4}{5} = 4:5 = 0,8 \)
Echter Bruch
Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs kleiner als 1.
\(\dfrac{Z}{N} < 1{\text{ wobei Z < N}}\)
Beispiel:
\(\dfrac{3}{5}\)
Unechter Bruch
Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs größer als 1.
\(\dfrac{Z}{N} > 1;{\text{ wobei Z > N}}\)
Beispiel:
\(\dfrac{5}{3} \approx 1,6667\)
Herausheben bei unechten Brüchen
Unechten Brüche können durch „herausheben“ vereinfacht werden. Man zerlegt dabei den Ausgangsbruch in zwei Brüche, bei denen der erste Bruch im Zähler ein ganzzahliges Vielfaches vom Nenner hat und der somit durch Kürzen zu einer ganzen Zahl wird. Als zweiter Bruch bleibt dann ein echter Bruch über. Es entstehen „gemischte Zahlen“, also Zahlen, die aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch bestehen.
Beispiel:
\(\dfrac{7}{2} = \dfrac{{3 \cdot 2 + 1}}{2} = \dfrac{{3 \cdot 2}}{2} + \dfrac{1}{2} = 3 + \dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2}\)
Gemischte Zahl
Eine gemischte Zahl ist eine spezielle Schreibweise für einen unechten Bruch, bei der man den unechten Bruch in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch aufspaltet. Danach gibt es noch eine verkürzte Schreibweise, bei der man das Summenzeichen weg lässt.
\(c\dfrac{Z}{N} = c + \dfrac{Z}{n}\)
Beispiel
\(\dfrac{5}{2} = \dfrac{{4 + 1}}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = 2\dfrac{1}{2}\)
Achtung:
- Bei der Schreibweise für Variablen gilt: \(ab = a \cdot b\)
- Bei der Schreibweise für Brüche gilt: \(2\dfrac{1}{2} \ne 2 \cdot \dfrac{1}{2}\)
weil- \(2\dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5\) ... sprich "2 Ganze plus ein Halbes"
- \(2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2 \cdot 1}}{{1 \cdot 2}} = \dfrac{2}{2} = 1\) ... sprich "2 mal ein Halbes"
Stammbruch
Beim Stammbruch ist der Zähler = 1.
\(\dfrac{1}{N}\)
Dezimalbruch
Beim Dezimalbruch ist der Nenner eine dekadische Einheit (10, 100, 1000,..).
\(\dfrac{Z}{{n \cdot 10}}\)
Uneigentlicher Bruch bzw. Scheinbruch
Beim uneigentlichen Bruch ist der Zähler gleich groß wie der Nenner oder ein ganzzahliges Vielfaches vom Nenner. Der Wert des Bruchs ist daher eine ganze Zahl.
\(\dfrac{{n \cdot N}}{N} = n;\)
Beispiel:
n=3, N=2: \(\dfrac{6}{2} = 3\)
Kehrwert eines Bruchs bzw. Reziprokwert
Den Kehrwert eines Bruchs, auch Reziprokwert genannt, erhält man, indem man Zähler und Nenner vom Bruch vertauscht. Man bildet den Kehrwert, damit sich die Division einer Zahl durch einen Bruch auf eine Multiplikation mit dem Kehrwert vom Bruch vereinfacht.
\(\eqalign{ & {\text{Bruch: }}\dfrac{{\text{Z}}}{{\text{N}}} \cr & {\text{Kehrwert: }}\dfrac{{\text{N}}}{{\text{Z}}} \cr}\)
Beispiel:
\(\begin{array}{l} \dfrac{4}{5} \to \dfrac{5}{4}\\ \dfrac{3}{{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}} = 3:\dfrac{4}{5} = 3 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{{15}}{4} = 3\dfrac{3}{4} = 3,75 \end{array}\)
Doppelbruch
Ein Doppelbruch ist ein Bruch in dessen Zähler und Nenner ebenfalls ein Bruch steht. Es wird also ein Bruch durch einen anderen Bruch dividiert.
- Einen Doppelbruch löst man auf, indem man „Außenglied (ZA)“ mal „Außenglied (NA)“ gebrochen durch „Innenglied (NI)“ mal „Innenglied (ZI)“ anschreibt.
\(\dfrac{{\dfrac{{{Z_A}}}{{{N_I}}}}}{{\dfrac{{{Z_I}}}{{{N_A}}}}} = \dfrac{{{Z_A} \cdot {N_A}}}{{{N_I} \cdot {Z_I}}}\)
- Ein Bruch wird dividiert, indem man den Dividend mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert
\(\dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{d}}} = \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)
Wenn nur im Zähler oder im Nenner ebenfalls ein Bruch steht, so ist es wichtig, dass man den Überblick behält, welcher Bruchstrich den Hauptbruch darstellt, also den Hauptzähler vom Hauptnenner trennt. Beachte in den beiden nachfolgenden Beispielen, dass das Gleichheitszeichen auf Höhe vom Hauptbruchstrich steht.
Beispiele:
\(\eqalign{ & {\text{Doppelbruch mit Bruch im Zähler:}} \cr & \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{c} = \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{1}}} = \dfrac{a}{{b \cdot c}} \cr & \cr & {\text{Doppelbruch mit Bruch im Nenner:}} \cr & \dfrac{a}{{\dfrac{b}{c}}} = \dfrac{{\dfrac{a}{1}}}{{\dfrac{b}{c}}} = \frac{{a \cdot c}}{b} \cr} \)
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Grundrechnungsarten
Die vier Grundrechnungsarten umfassen die "Strichrechnungsarten" Addition und Subtraktion, sowie die "Punktrechnungsarten" Multiplikation und Division
Addition
Die Addition ist der lateinische Name für die Plus Rechnung. Summand plus Summand ist gleich der Summe
- Summand ist die Zahl die dazu zuzählen ist
- Summe ist das Resultat einer Plus Rechnung
Subtraktion
Die Subtraktion ist der lateinische Name für die Minus Rechnung. Minuend minus Subtrahend ist gleich der Differenz
- Minuend ist die Zahl von der etwas abgezogen wird
- Subtrahend ist die Zahl die abgezogen wird
- Differenz ist das Resultat einer Minus Rechnung
Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenoperationen. Addiert man eine Zahl und subtrahiert man sie wieder, so erhält man die Ausgangszahl
Multiplikation
Die Multiplikation ist der lateinische Name für die Mal Rechnung. Faktor mal Faktor ist gleich dem Produkt
- Faktor ist die Zahl die multipliziert wird oder die Zahl mit der multipliziert wird
- Produkt ist das Resultat einer Mal Rechnung
Satz vom Nullprodukt
Ein Produkt ist dann null, wenn zumindest einer der beiden Faktoren null ist.
Division
Die Division ist der lateinische Name für das Teilen. Dividend durch Divisor ist gleich dem Quotient
- Dividend ist die Zahl die zu teilen ist
- Divisor ist die Zahl durch die geteilt wird
- Quotient ist das Resultat einer Geteilt Rechnung
Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechenoperationen. Multipliziert man mit eine Zahl und dividiert man durch diese Zahl wieder, so erhält man die Ausgangszahl
Vorzeichenregeln bei Multiplikation und Division
- Plus mal / geteilt durch plus ergibt plus
- Plus mal / geteilt durch minus ergibt minus
- Minus mal / geteilt durch plus ergibt minus
- Minus mal / geteilt durch minus ergibt plus
Rechengesetze für reelle Zahlen
Für die vier Grundrechnungsarten gibt es mathematische Regeln, die in Form von Rechengesetzen formuliert sind
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
- ... der Addition: Summanden darf man vertauschen
\(a + b = b + a\) - ... der Multiplikation: Faktoren darf man vertauschen
\(a \cdot b = b \cdot a\)
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
- ... der Addition: Summanden darf man zu Teilsummen verbinden
\(\left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right)\) - ... der Multiplikation: Faktoren darf man zu Produkten verbinden
\(\left( {a \cdot b} \right) \cdot c = a \cdot \left( {b \cdot c} \right)\)
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
- Klammern dürfen ausmultipliziert werden
\(\eqalign{ & a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c \cr & a \cdot \left( {b - c} \right) = a \cdot b - a \cdot c \cr} \)
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Existenz eines neutralen Elements
- das neutrales Element der Addition und der Subtraktion ist 0
x+0=x; x-0=x - das neutrales Element der Multiplikation und der Division ist 1
x*1=x; x:1=x
Existenz eines inversen Elements
- das inverse Element der Addition ist (-x), das der Subtraktion ist (+x)
x+(-x)=0; -x+(+x)=0 - das inverse Element der Multiplikation ist x-1, das der Division ist x
\(x \cdot {x^{ - 1}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{1}{x} \cdot x = 1\,\,\,\,\,{\rm{für x}} \ne {\rm{0}}\)