Bruch

Bruch

Ein Bruch ist eine Schreibweise für eine Zahl. Der Bruch besteht aus einem Bruchstrich, der dem Rechenzeichen "Dividiert" entspricht, einer Zahl als Zähler, die oberhalb vom Bruchstrich steht und einer Zahl als Nenner, die unterhalb vom Bruchstrich steht. Der Nenner, der auch Teiler oder Divisor genannt wird, gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde. Der Zähler, der auch Dividend genannt wird, gibt an wie viele Teile vom Nenner genommen werden. Dividiert man den Dividend durch den Divisor, so erhält man eine Dezimalzahl, die Quotient genannt wird. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an. Verbal sagt man statt Bruchstich gerne "gebrochen durch" oder "geteilt durch". Geschrieben wird der Bruchstrich als waagrechter oder schräger Strich der zwischen dem Zähler und den Nenner steht.

\({\text{Wert des Bruchs = }}\dfrac{{{\text{Zähler}}}}{{{\text{Nenner}}}}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{Dividend}}}}{{{\text{Divisor}}}}{\text{ = Quotient}}\)

Brüche lassen sich durch Division in Dezimalzahlen umwandeln. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an. 

Beispiel:
Der Bruch vier Fünftel entspricht der Dezimalzahl 0,8

\(\dfrac{4}{5} = 4:5 = 0,8 \)

Echter Bruch

Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs kleiner als 1.

\(\dfrac{Z}{N} < 1{\text{ wobei Z < N}}\)

Beispiel:

\(\dfrac{3}{5}\)

Unechter Bruch

Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs größer als 1.

\(\dfrac{Z}{N} > 1;{\text{ wobei Z > N}}\)

Beispiel:

\(\dfrac{5}{3} \approx 1,6667\)

Gemischte Zahl

Eine gemischte Zahl ist eine spezielle Schreibweise für einen unechten Bruch, bei der man den unechten Bruch in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch aufspaltet. Danach gibt es noch eine verkürzte Schreibweise, bei der man das Summenzeichen weg lässt.

\(c\dfrac{Z}{N} = c + \dfrac{Z}{n}\)

Beispiel

\(\dfrac{5}{2} = \dfrac{{4 + 1}}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = 2\dfrac{1}{2}\)

Achtung:

• Bei der Schreibweise für Variablen gilt: \(ab = a \cdot b\)
• Bei der Schreibweise für Brüche gilt: \(2\dfrac{1}{2} \ne 2 \cdot \dfrac{1}{2}\)
  weil
  • \(2\dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5\) ... sprich "2 Ganze plus ein Halbes"
  • \(2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2 \cdot 1}}{{1 \cdot 2}} = \dfrac{2}{2} = 1\) ... sprich "2 mal ein Halbes"

Stammbruch

Beim Stammbruch ist der Zähler = 1.

\(\dfrac{1}{N}\)

Dezimalbruch

Beim Dezimalbruch ist der Nenner grundsätzlich eine dekadische Einheit (10, 100, 1000,..). D.h. der Nenner ist immer eine Potenz von 10, das unterscheidet den Dezimalbruch von anderen Brüchen.

\(\dfrac{Z}{{{{10}^n}}}\,\,\,{\text{mit }}n \in {\Bbb Z}\)

Beispiel

\(\eqalign{ & n = 2:\,\,\dfrac{{25}}{{{{10}^2}}} = \dfrac{{25}}{{100}} \cr & n = - 3:\,\,\dfrac{{ - 6}}{{{{10}^{ - 3}}}} = - \dfrac{6}{{0.001}} \cr} \)

Uneigentlicher Bruch bzw. Scheinbruch

Beim uneigentlichen Bruch ist der Zähler gleich groß wie der Nenner oder ein ganzzahliges Vielfaches vom Nenner. Der Wert des Bruchs ist daher eine ganze Zahl.

\(\dfrac{{n \cdot N}}{N} = n;\)

Beispiel:
n=3, N=2: \(\dfrac{6}{2} = 3\)

Kehrwert eines Bruchs bzw. Reziprokwert

Den Kehrwert eines Bruchs, auch Reziprokwert genannt, erhält man, indem man Zähler und Nenner vom Bruch vertauscht. Man bildet den Kehrwert, damit sich die Division einer Zahl durch einen Bruch auf eine Multiplikation mit dem Kehrwert vom Bruch vereinfacht.

\(\eqalign{ & {\text{Bruch: }}\dfrac{{\text{Z}}}{{\text{N}}} \cr & {\text{Kehrwert: }}\dfrac{{\text{N}}}{{\text{Z}}} \cr}\)

Beispiel:
\(\begin{array}{l} \dfrac{4}{5} \to \dfrac{5}{4}\\ \dfrac{3}{{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}} = 3:\dfrac{4}{5} = 3 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{{15}}{4} = 3\dfrac{3}{4} = 3,75 \end{array}\)

Doppelbruch

Ein Doppelbruch ist ein Bruch in dessen Zähler und Nenner ebenfalls ein Bruch steht. Es wird also der Bruch im Zähler durch den Bruch im Nenner dividiert.

• Einen Doppelbruch löst man auf, indem man
  • „Außenglied (Z_A)“ mal „Außenglied (N_A)“ gebrochen durch „Innenglied (N_I)“ mal „Innenglied (Z_I)“ bzw.
  • "Zähler" mal "Zähler" gebrochen durch "Nenner" mal "Nenner"

anschreibt.

• \(\dfrac{{\dfrac{{{Z_A}}}{{{N_I}}}}}{{\dfrac{{{Z_I}}}{{{N_A}}}}} = \dfrac{{{Z_A} \cdot {N_A}}}{{{N_I} \cdot {Z_I}}}\)
   
• Einen Doppelbruch löst man auf, indem man den Dividend mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert.

1. Schreibe den Doppelbruch als Division zweier Brüche an
2. Ersetze die Division durch eine Multiplikation, indem du den Kehrwert vom zweiten Bruch anschreibst
3. Multipliziere Zähler mit Zähler geteilt durch Nenner mal Nenner
   \(\dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{d}}} = \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)

Besonderer Fall eines Doppelbruchs:

Wenn nur im Zähler oder nur im Nenner eines Doppelbruchs ein Bruch steht, so ist es wichtig, dass man den Überblick behält, welcher Bruchstrich den Hauptbruchstrich darstellt, also den Hauptzähler vom Hauptnenner trennt. Dazu schreibt man das Gleichheitszeichen auf Höhe vom Hauptbruchstrich, oder man macht den Hauptbruchstrich besonders lang. 

Beispiele:

\(\eqalign{ & {\text{Doppelbruch mit Bruch im Zähler:}} \cr & \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{c} = \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{1}}} = \dfrac{a}{{b \cdot c}} \cr & \cr & {\text{Doppelbruch mit Bruch im Nenner:}} \cr & \dfrac{a}{{\dfrac{b}{c}}} = \dfrac{{\dfrac{a}{1}}}{{\dfrac{b}{c}}} = \frac{{a \cdot c}}{b} \cr} \)