Zahlensysteme bzw. Stellenwertsysteme
Formel
Zahlensysteme bzw. Stellenwertsysteme
Bei Zahlensystemen bzw. bei Stellenwertsystemen wird jeder Stelle einer Zahl ein Wert zugeordnet. Dieser Wert jeder Stelle hängt von zwei Parametern ab und zwar von der Höhe der Ziffer selbst und von der Position in der Zahl, an der die Ziffer steht. Aus der Summe der Stellenwerte ergibt sich der Zahlenwert. In der täglichen Praxis haben sich verschiedene Zahlensysteme etabliert, die man einfach in einander umrechnen kann. Am vertrautesten ist uns das Dezimalsystem, auch Zehnersystem genannt. Hätte der Mensch 16 Finger, so wäre uns wohl das Hexadezimalsystem besser vertraut als das Dezimalsystem...
Dekadisches Zahlensystem bzw. Dezimalsystem bzw. Zehnersystem
Im dekadischen Zahlensystem ist das Zehnfache der Einheit, die nächsthöhere Einheit. 10 Einer sind 1 Zehner, 10 Zehner sind 1 Hunderter, 10 Hunderter sind 1 Tausender, ...
Ziffernwert: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Stellenwerte: 1, 10, 100,..., Vielfache von 10
Die Basis im Dezimalsystem ist also die Zahl 10. Die einzelnen Stellen sind
- ...
- Tausenderstelle
- Hunderterstelle
- Zehnerstelle
- Einerstelle
- Zehntelstelle
- Hundertstelstelle
- ...
Große Zahlen gruppiert man in Dreiergruppen, die durch
- Leerzeichen Beispiel: \(6\,789,12\)
- Tausenderpunkt Beispiel(im deutschen Sprachraum): \(6.789,12\)
- Tausenderkomma (im englischen Sprachraum Beispiel: \(6,789.12\)
getrennt werden.
Beispiel
dezimal 123 = abc = a·102+b·101+c·100 mit a=1, b=2 und c=3
Beispiel
Dezimalsystem: Zahl = 123
diese Zahl besteht aus den drei Ziffern 1, 2, 3 die an der Hunderterstelle, Zehnerstelle und Einerstelle stehen
Sellenwert der "1" = 100 → Zahlenwert ist 100x1=100
Stellenwert der "2" = 10 → Zahlenwert ist 10x2=20
Stellenwert der "3" = 1 → Zahlenwert ist 1x3=3
Zahlenwert der Zahl "123" = 100+20+3=123 Einhundertdreiundzwanzig
Dual- bzw. Binärsystem
Im Dualsystem ist das Zweifache der Einheit die nächsthöhere Einheit. Die Basis im Binärsystem ist also die Zahl 2.
Ziffernwerte: 0, 1
Stellenwert: Vielfache von 2.
Das Binärsystem ist vor allem in der Datenverarbeitung im Computer in Verwendung. „0“ bedeutet dann, es fließt kein Strom, während „1“ bedeutet, es fließt Strom.
Beispiel
binär 1010 = a+b+c+d=a·23+b·22+c·21+d·20 = 1·8+0·4+1·2+0·1=10 (dekadisch)
Hexadezimalsystem
Im Hexadezimalsystem ist das Sechzehn-fache der Einheit die nächst größere Einheit. Die Basis im Binärsystem ist also die Zahl 16.
Ziffernwerte: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Stellenwerte: Vielfache von 16.
Das „Sechzehnfache“ hat man gewählt, weil man damit 4 Bit einer Dualzahl in einer einzigen hexadezimalen Ziffer zusammenfassen kann.
Beispiel
Hex C4 bzw. #C4 = Dez: 12·161+4·160=192+4=196 (dekadisch) oder Bin: 1100 0100
BCD Code
Bei BCD handelt sich um kein Zahlensystem sondern um einen Code, der in der Datenverarbeitung weit verbreitet ist.
Im Binary Coded Decimal System wird jede Stelle einer dezimalen Ziffer dualkodiert.
Beispiel
Dezimal 19 = 0001 1001 weil für die Zehnerstelle 1 = 0001 und für die Einerstelle 9 = 1001 gilt.
Gegenüberstellung Dezimal- Dual und Hexadezimalsystem sowie BCD Code
| Dezimal | Dual | BCD | Hex |
| 0 | 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 10 | 0010 | 2 |
| 3 | 11 | 0011 | 3 |
| 4 | 100 | 0100 | 4 |
| 5 | 101 | 0101 | 5 |
| 6 | 110 | 0110 | 6 |
| 7 | 111 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 1001 | 9 |
| 10 | 1010 | 0001 0000 | A |
| 11 | 1011 | 0001 0001 | B |
| 12 | 1100 | 0001 0010 | C |
| 13 | 1101 | 0001 0011 | D |
| 14 | 1110 | 0001 0100 | E |
| 15 | 1111 | 0001 0101 | F |
| 16 | 10000 | 0001 0110 | 10 |
| 17 | 10001 | 0001 0111 | 11 |
| 18 | 10010 | 0001 1000 | 12 |
| 19 | 10011 | 0001 1001 | 12 |
Beachte: Im BCD Code kommen folgende 6 Werte nicht vor: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 im Dual-bzw. Binärsystem hingegen schon, dort repräsentieren sie die Dezimalzahlen 10,11,12,13,14,15.
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Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Algebra | Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen |
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| Maßstab | Unter einem Maßstab versteht man das Verhältnis zwischen der tatsächlichen Länge einer Strecke in der Natur und der Länge dieser Strecke in einer Abbildung |
| Rundungsregeln | Grundsätzlich kann man Zahlen auf jeden beliebigen Stellenwert auf oder abrunden. Dafür gibt es aber verschiedene Regeln. |
| Rechenregeln für Brüche | Für Brüche gibt es eine Reihe an Rechenregeln |
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| Vielfache | b ist ein Vielfaches (n-fache) von a, wenn a ein Teiler von b ist. |
| Teiler | Der Teiler a ist jene Zahl, durch die man eine andere Zahl b ohne Rest teilen kann |
| Zahlen mit Zehnerpotenzen darstellen | Zehnerpotenzen sind Potenzen zur Basis 10. Für SI-Präfixe kleiner als 1 ist der Exponent eine negative ganze Zahl. Für SI-Präfixe größer als 1 ist der Exponent eine positive ganze Zahl. |
| Dezimalzahl | Dezimalzahlen sind Zahlen, die ein Komma enthalten. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 249
Stellenwert einer Ziffer
Gib den Stellenwert der jeweils hervorgehobenen Ziffer an
| 258,95 | |
| 33,57 | |
| 66,66 | |
| 1 347,994 | |
| 22 222 222 | |
| 3 222 111 000 |