Zahlen in Listenform
Formel
Zahlen in Listenform
In der Algebra ist es oft zweckmäßig mit Zahlen in Listenform zu arbeiten. Wir fassen nachfolgen kurz die diesbezüglich wichtigsten Listenformen für Zahlen zusammen. Wir verwenden dabei folgende Sprachregelung:
- Elemente: Mengen setzen sich aus Elementen zusammen.
- Koeffizienten eines Gleichungssystems: Koeffizienten sind unveränderliche Zahlen, die als Faktor vor den Variablen einer Gleichung stehen
- Komponenten einer Matrix: Matrizen setzen sich aus Komponenten zusammen. (Obwohl hier leider oft "Element" statt "Komponente" verwendet wird.) Die Komponenten aikder Matrix entsprechen den Koeffizienten aikim linearen Gleichungssystem
- Index der Komponenten einer Matrix: Die Position jeder Komponente in der Matrize wird durch zwei Indizes i (=Zeile) und k (=Spalte) beschrieben.
- Koeffizientenmatrix: Ein lineares Gleichungssystem in n Unbekannten und m Gleichungen lässt sich als Koeffizientenmatrix anschreiben. Die Komponenten aikder Matrix entsprechen den Koeffizienten aikim linearen Gleichungssystem
- Gleichungsmatrix: Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizientenmatrix um eine weitere Spalte nach rechts. In dieser Spalte werden die Konstanten gemäß der "rechten Seite" vom linearen Gleichungssystem geschrieben.
Menge
Eine Menge stellt die Zusammenfassung von mehreren Elementen zu einer Gesamtheit dar. Man verwendet geschwungene Klammern und separiert die einzelnen Elemente durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Elemente angeschrieben werden spielt keine Rolle. {1,2,3}={3,1,2}}={2,3,1}. Entscheidend ist, ob ein Element Teil der Menge ist oder ob nicht. Das mehrfaches Anschreiben von ein und demselben Element einer Menge ist daher nicht sinnvoll. {1,1,2,2,3,3}={1,2,3}
Zusammenhang: Tupel - Vektor - Matrix - Tensor
Tupel, Vektor, Matrix oder Tensor sind verschieden komplexe Schreibweisen für Objekte, die zu einer Liste, unter Berücksichtigung der Reihenfolge, zusammengefasst wurden. Dadurch unterscheiden sie sich von einer Menge, bei denen es nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt.
Tupel
Ein Tupel stellt die Zusammenfassung von mehreren Komponenten zu einer Liste dar. Man verwendet runde Klammern und separiert die einzelnen Komponenten durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle. (1,2,3)≠(3,2,1). Das mehrfaches Anschreiben von gleichlautenden Komponenten hat eine Bedeutung. (1,1,2,2,3,3)≠(1,2,3). Jede Komponente im Tupel hat ihren eindeutigen Platz.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)
- Ein 2er Tupel wird auch geordnetes Paar genannt; z.B.: (x, f(x))
- Ein 3er Tupel wird auch Trippel genannt; z.B.: (x1,y1,z1)
- Ein 4er Tupel wird auch Quadrupel genannt; z.B.: (x1,y1,z1,t1)
Vektor
Vektoren sind eindimensionale Listen von Zahlen, wobei die Komponenten des Vektors in Form von Zeilen- und als Spaltenvektor angeschrieben werden können. Die Gesamtheit der Komponenten eines Vektors (der Klammerausdruck, der den Vektor repräsentiert) entsprechen daher einem Tupel. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors stimmt mit der Dimension des Vektors überein. (x1,y1,z1) repräsentiert also einen 3-dimensionalen Vektor. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle dabei, in welche Richtung der Vektor zeigt
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)
- an: Die Werte an bezeichnet man als die Komponenten des Vektors.
- n: Also die Anzahl der Komponenten eines Vektors, bezeichnet man als die Dimension des Vektors.
Aus der Geometrie sind uns
- 2-dimeonsionale Vektoren (ebene Geometrie)
- 3-dimensionele Vektoren (räumliche Geometrie) vertraut.
Aus der Physik, speziell der speziellen Relativitätstheorie, sind uns
- 4-dimensionele Tupel vertraut.
- Ihre ersten drei Dimensionen beschreiben den Raum,
- ihre vierte Dimension beschreibt die Zeit.
Matrix
Matrizen sind zweidimensionale Listen von Zahlen. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine Matrix der m x n ten Ordnung. Die Komponente aik mit den Indizes ik steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte. Auch die Zeilen oder Spalten einer Matrix sind Tupel.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)
Lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise
→ Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann mit Hilfe einer Koeffizientenmatrix und zweier Spaltenvektoren angeschrieben werden.
\(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{12}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{1n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_1}}\\ {{a_{21}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{22}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{2n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_2}}\\ {...}& + &{...}& + &{...}& + &{...}& = &{...}\\ {{a_{m1}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{m2}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{mn}} \cdot {x_n}}& = &{{b_m}} \end{array}\)
Koeffizientenmatrix
Die Koeffizientenmatrix besteht aus den Koeffizienten des linearen Gleichungssystems. Der 1. Spaltenvektor besteht aus den Komponenten von der Variablen x, während die rechte Seite der Gleichungen den 2. Spaltenvektor bildet.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{12}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{_{m1}}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {...}\\ {{x_m}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ {...}\\ {{b_m}} \end{array}} \right) \Leftrightarrow A \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow b \)
Wenn die inverse Matrix A-1 existiert, dann kann man nach x wie folgt auflösen: \(\overrightarrow x = {A^{ - 1}} \cdot \overrightarrow b\)
Gleichungsmatrix
Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann aber auch mit Hilfe einer sogenannten Gleichungsmatrix angeschrieben werden. Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizeintenmatrix um eine zusätzliche, durch einen lotrechten Strich abgetrennte Spalte, in der die Konstanten bi der rechten Seite vom zugrunde liegenden linearen Gleichungssystem stehen
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}&{\left| {{b_1}} \right.}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}&{\left| {{b_2}} \right.}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}}&{\left| {{b_m}} \right.} \end{array}} \right)\)
Determinante
Determinanten sind Zahlen(werte) die man (ausschließlich) einer quadratischen Matrix zuordnen kann und die aus deren Komponenten berechnet werden.
Tensor
Ein Tensor ist ein mathematisches Objekt, welches Komponenten hat. Jede Tensorkomponente kann eine Funktion oder eine Zahl sein. Tensoren definieren sich über die Weise, in der ihre Komponenten transformieren.
- Ein Skalar ist ein Tensor der 0. Stufe
- Ein Vektor ist ein Tensor der 1. Stufe
- Eine 3 x 3 Matrix ist ein Tensor der 2. Stufe, dieser besteht also aus 9 Komponenten. Die Komponenten eines Tensors 2. Stufe transformieren
- kontravariant
- kovariant
- gemischt
- Aus der Physik, speziell der allgemeinen Relativitätstheorie, sind uns mehrdimensionale Tupel vertraut.
Geht bei einer Koordinatentransformation die Komponente \({x^a}\) in \({x^{a'}}\) über gemäß
-
kontravariante \({T^{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^{b'}}}}{{\partial {x^b}}}{T^{ab}}\)
-
kovariante \({T_{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^a}}}{{\partial {x^{a'}}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T_{ab}}\)
-
gemischte \({T^{a'}}_{b'} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T^a}_b\)
so ist T ein Tensor 2. Stufe.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Algebra | Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen |
Aktuelle Lerneinheit
Zahlen in Listenform | In der Algebra ist es oft zweckmäßig mit Zahlen in Listenform zu arbeiten. Man unterscheidet dabei zunächst eindimensionale Listen wie Vektoren und zweidimensionale Listen wie Matrizen |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Potenzieren, Wurzelziehen und Logarithmieren | Potenzen, Wurzeln und Logarithmen ermöglichen es x zu berechnen wenn x unter einer Wurzel steht oder wenn x die Basis oder der Exponent einer Potenz ist. |
Gleichungen | Eine Gleichung ist eine mathematische Schreibweise, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet. Bei Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen gilt es jene Werte der Variablen aus einer gegebenen Grundmenge zu bestimmen, für die die Lösung der Gleichung eine wahre Aussage wird. |
Terme | Terme sind sinnvolle mathematische Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen, jedoch nicht aus Relationszeichen bestehen. |
Zahlensysteme bzw. Stellenwertsysteme | Zur Darstellung von Zahlen werden verschiedene Zahlensysteme verwendet, die man einfach in einander umrechnen kann |
Komplexe Zahlen | Eine komplexe Zahl setzt sich aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammen |
Ungleichung | Verbindet man 2 Terme mit einem der nachfolgend angeführten Ungleichheitszeichen, so erhält man eine Ungleichung |
Vertiefe dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Produktionsprozesse in Matrizenschreibweise | Gemäß dem Leontief Modell, einem Input-Output Modell für die Planung von Produktionsprozessen, errechnet man die notwendige Produktion bei vorgegebener Nachfrage und einer den Produktionsprozess abbildenden Technologiematrix. |
Matrixalgebra | Die Addition bzw. Subtraktion von Matrizen (die gleich vielen Zeilen und Spalten haben müssen) erfolgt, indem man die Komponenten mit gleichem Index addiert bzw. subtrahiert |
Determinante | Die Determinante det A ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen Matrizen (n,n) bilden kann. Für nicht-quadratische Matrizen sind Determinanten nicht definiert. |
Matrix | Eine (m·n) Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, von m Zeilen und n Spalten, zwischen großen (runden) Klammern. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4516
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Puddingmischungen - Aufgabe B_529
Teil c
Der Produktionsprozess wird auf andere Puddingsorten erweitert. Aus a reinen Puddingsorten werden b verschiedene Mischsorten produziert, die wiederum in c verschiedenen Packungsgrößen abgepackt werden. Die quadratische Matrix B beschreibt die Produktionsverflechtungen zwischen den reinen Puddingsorten, den Mischsorten und den Packungen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Eigenschaften von B jeweils die zutreffende Berechnung aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
- Eigenschaft 1: Anzahl der Matrixelemente von B
- Eigenschaft 2: Anzahl der Zeilen von B
- Berechnung A: \(a \cdot b \cdot c\)
- Berechnung B: \(a + b + c\)
- Berechnung C: \(\left( {a + b + c} \right) \cdot 2\)
- Berechnung D: \({\left( {a + b + c} \right)^2}\)
Aufgabe 257
Aufgaben zur Mengenlehre
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Elemente an, die in den jeweiligen Mengen enthalten sind.
\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in {N^ + }|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {x \in N|7 < x \leqslant 9} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < 2} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x} \right\} \cr & {M_5} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < - 2} \right\} \cr & {M_6} = \left\{ {x \in N|8 \leqslant x \leqslant 9} \right\} \cr} \)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Setze das gegebene Element in Beziehung zur Menge unter Verwendung von \( \in ,\,\, \notin ,\,\, \subset ,\,\, \subseteq \)
\(\eqalign{ & 2\_?\_{M_1} \cr & 7\_?\_{M_1} \cr & 2\_?\_{M_5} \cr & {M_3}\_?\_{M_4} \cr & {M_2}\_?\_{M_6} \cr} \)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Durchschnittsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cap {M_2} \cr & {M_1} \cap {M_3} \cr & {M_1} \cap {M_4} \cr & {M_3} \cap {M_4} \cr & {M_4} \cap {M_6} \cr} \)
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Vereinigungsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cup {M_2} \cr & {M_2} \cup {M_3} \cr & {M_5} \cup {M_6} \cr & {M_4} \cup {M_6} \cr & {M_1} \cup {M_4} \cr} \)
5. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Differenzmenge an
\(\eqalign{ & {M_1}\backslash {M_2} \cr & {M_1}\backslash {M_3} \cr & {M_3}\backslash {M_1} \cr & {M_2}\backslash {M_5} \cr & {M_4}\backslash {M_3} \cr} \)