Einsetzungsmethode bei linearen Gleichungssystemen
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Formeln
Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen
Jede lineare Gleichung lässt sich als Gerade vom Typ \(y = k \cdot x + d\) darstellen. Da die Gleichungen linear sind, kommen nur Potenzen 1. Grades vor, also keine Quadrate oder höhere Potenzen.
Lineare Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen bedeutet, dass zwei lineare Gleichungen vorliegen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen. Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen sind daher zwei Gleichungen erforderlich. Gibt es für ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen nur 1 Gleichung, ist das Gleichungssystem unterbestimmt, gibt es mehr als 2 Gleichungen, so ist das Gleichungssystem überbestimmt.
Ein sinnvoll lösbares LGS in zwei Variablen wird immer aus 2 Gleichungen bestehen, für die es folgende 3 Lösungsmöglichkeiten gibt: unendlich viele Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung.
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1}.y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2}.y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
wobei:
x, y | Variablen |
\({a_i},\,\,{b_i},\,\,{c_i}\,\, \in {\Bbb R}\) | Koeffizienten |
Grafische Lösung linearer Gleichungssysteme
Jeder der beiden linearen Gleichungen entspricht eine Gerade. Bei 2 Gleichungen liegen also 2 Geraden vor.
Da jede der beiden Geraden durch 2 Variable beschrieben wird, liegen entsprechend auch nur 2 Dimensionen x, y vor, also liegen die beiden Geraden in einer xy-Ebene, und nicht etwa im dreidimensionalen Raum. Wir müssen daher 3 Fälle unterscheiden:
- Fall 1: Zwei deckungsgleiche Gerade: Sind die Geraden ident, so gibt es unendlich viele Lösungen für das lineare Gleichungssystem.
- Fall 2: Zwei parallele Gerade: Es gibt es keinen Schnittpunkt, und somit auch keine Lösung des linearen Gleichungssystems.
- Fall 3: Zwei schneidende Gerade: Es gibt einen Schnittpunkt S, dessen Koordinaten xS, yS stellen die einzige Lösung für x, y des linearen Gleichungssystems dar.
\(\begin{array}{*{20}{c}} {I:}&{{a_1}x}& + &{{b_1}y}& = &{{c_1}}\\ {II}&{{a_2}x}& + &{{b_2}y}& = &{{c_2}} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_i} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}}\\ {d_i} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} y = {k_1}x + {d_1}\\ y = {k_2}x + {d_2} \end{array}\) | |
implizite Darstellung | Umrechnung | explizite Darstellung | |
Fall 1 | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C = {c_2} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_1} = {k_2}\\ {d_1} = {d_2} \end{array}\) | |
Fall 2 | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C \ne {c_2} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_1} = {k_2}\\ {d_1} \ne {d_2} \end{array}\) | |
Fall 3 | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C \ne {b_2}\\ egal \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_1} \ne {k_2}\\ egal \end{array}\) |
Eliminationsverfahren - Gleichsetzungsmethode
Beim Eliminationsverfahren bzw. Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach der selben Variablen (x) aufgelöst. Danach werden die erhaltenen Terme gleichgesetzt, wodurch die Variable (x) nach der explizit gemacht wurde, verschwindet und nur mehr eine Gleichung in der verbleibenden Variablen (y) überbleibt.
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1} \cdot y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2} \cdot y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1:}}{a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \Rightarrow x = \dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}} \cr & {\text{Gl}}{\text{.2:}}{a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \Rightarrow x = \dfrac{{{c_2} - {b_2} \cdot y}}{{{a_2}}}\cr}\)
Gleichsetzen: Gl. 1 = Gl. 2
\(\dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}} = \dfrac{{{c_2} - {b_2} \cdot y}}{{{a_2}}}\)
Substitutionsverfahren - Einsetzungsmethode
Beim Substitutionsverfahren bzw. Einsetzverfahren wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, d.h. diese Variable wird explizit gemacht. Der so entstandene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch diese Gleichung nur mehr eine Variable enthält und lösbar wird.
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1} \cdot y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2} \cdot y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
\({\text{Gl}}{\text{. 1: }}{a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \Rightarrow x = \dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}}\)
x aus Gl. 1 in Gl. 2 einsetzen:
\({\text{Gl}}{\text{. 2: }}{a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \Rightarrow {a_2} \cdot \dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}} + {b_2} \cdot y = {c_2}\)
Additionsverfahren - Methode gleicher Koeffizienten
Beim Additionsverfahren bzw. beim Verfahren gleicher Koeffizienten werden durch äquivalentes Umformen die Koeffizienten einer Variablen bis auf entgegengesetzte Vorzeichen gleich gemacht. Danach werden die Gleichungen addiert, wodurch die Variable wegfällt, deren Koeffizienten man zuvor gleich gemacht hat. Was bleibt ist eine Gleichung in einer Variablen, die man dadurch löst, dass man die verbliebene Variable explizit macht.
\(\eqalign{ & Gl.1:{a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1}\,\,\left| {{\lambda _1}} \right. \cr & Gl.2:{a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2}\,\,\left| {{\lambda _2}} \right. \cr}\)
\({\lambda _1},{\lambda _2}{\text{ so wählen}}{\text{, dass }}{\lambda _1} \cdot {b_1} = \pm {\lambda _2} \cdot {b_2}\)
\(\matrix{ {Gl.1} & {{\lambda _1} \cdot {a_1}.x} & { + {\lambda _1} \cdot {b_1} \cdot y} & { = {\lambda _1} \cdot {c_1}} \cr {Gl.2} & {{\lambda _2} \cdot {a_2} \cdot x} & { + {\lambda _2} \cdot {b_2} \cdot y} & { = {\lambda _2} \cdot {c_2}} \cr {Gl.1\,\, \mp Gl.2.} & {{\lambda _1} \cdot {a_1} \cdot x} & { \mp {\lambda _2} \cdot {a_2} \cdot x} & { = {\lambda _1} \cdot {c_1} \mp {\lambda _2} \cdot {c_2}} \cr }\)
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Aufgaben
Aufgabe 11270
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Smoothie
Der Vitamin-C-Gehalt von Schwarzen Johannisbeeren beträgt durchschnittlich 177 mg pro 100 g, der Vitamin-C-Gehalt von Kiwis beträgt durchschnittlich 46 mg pro 100 g. Für einen Smoothie sollen die beiden Fruchtsorten so gemischt werden, dass man eine Mischung mit insgesamt 75 g erhält, die 100 mg Vitamin C enthält.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ermitteln Sie die Menge an Schwarzen Johannisbeeren (in g) und die Menge an Kiwis (in g), die für diesen Smoothie gemischt werden müssen.
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Aufgabe 11294
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 19. September 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Apfelsaft und Orangensaft
Bei einer Veranstaltung werden als Getränke ausschließlich Apfelsaft und Orangensaft in Bechern zum Verkauf angeboten. Insgesamt werden bei dieser Veranstaltung 375 Becher verkauft, davon a Becher Apfelsaft zu je € 0,80 und b Becher Orangensaft zu je € 1,00. Der dabei erzielte Verkaufserlös beträgt € 339,00.
Aufgabenstellung [0 / 0,5 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von a und b.
Aufgabe 11318
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Jänner 2024 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kraft und Beschleunigung
Wirkt eine Kraft auf einen ruhenden Körper, so wird dieser Körper in Richtung der Kraft beschleunigt. Für den Betrag der Kraft gilt \(F = m \cdot a\), wobei mit m die Masse und mit a die Beschleunigung des Körpers bezeichnet wird (F in Newton (N), m in kg, a in m/s2).
- Auf eine bestimmte ruhende Kugel wirkt eine Kraft von F1 = 5 N. Dadurch wird diese Kugel mit a1 = 0,625 m/s2 beschleunigt.
- Auf eine zweite ruhende Kugel gleicher Masse soll eine Kraft F2 so wirken, dass diese Kugel mit a2 = 0,5 m/s2 beschleunigt wird.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Berechnen Sie F2 in N.