Steigung (Prozentrechnung)
Die Steigung (einer Straße) gibt das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds, zur horizontal zugrundeliegenden Strecke an.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Verhältnisgrößen
Bei manchen Fragestellungen ist ein Vergleich aussagekräftiger, wenn man die zu vergleichenden Größen zu deren „Anteil am Ganzen“ in Relation setzt. Der Vergleich von Anteilen erfolgt über den Umweg von Verhältnisgrößen wie Prozent, Promille oder Steigung
- Prozent
Der Prozentwert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert in Hundertstel an. 1% ist ein Hundertstel des Grundwerts. - Promille
Der Promillewert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert, in Tausendstel an. 1‰ ist ein Tausendstel des Grundwerts. - Steigung
Die Steigung s (einer Straße) gibt das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds v, zur horizontal zugrunde liegenden Strecke h an.
Beispiel:
z.B.: Ein Schulausflug kostet 50€ je Schüler. Eine Mutter verdient 1.000 € / Monat, eine andere Mutter verdient 2.000 € / Monat.
- Absolut kostet der Ausflug zwar jeder Mutter gleich viel (immer 50 €)
- In Anteilen am Einkommen gibt es aber einen wesentlichen Unterschied
- für die Mutter mit 1.000 € / Monat bedeuten 50 € eine Ausgabe von 5% ihres Monatseinkommens,
- für die andere Mutter bedeuten 50 € nur 2,5% ihres Monatseinkommen, d.h. ihre finanzielle Belastung ist nur halb so groß, wie die der 1. Mutter
Prozentrechnung
Bei der Prozentrechnung legt man fest, dass dem Grundwert hundert Prozent entspricht. So kann man verschiedene Prozentwerte mit einander vergleichen. Das Prozent-Symbol % ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Prozentwert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 100% so erhält man den Prozentsatz.
\({\text{Prozentsatz = }}\dfrac{{{\text{Prozentwert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 100\% \)
Prozentsatz | Prozentualer Anteil vom Prozentwert am Grundwert. Die Einheit ist % |
Prozentwert | Absoluter Anteil am Grundwert; Der Wert der mit dem Grundwert verglichen wird. Die Einheit ist die gleiche wie die vom Grundwert |
Grundwert | Das Ganze; Der Wert mit dem verglichen wird. Der Grundwert entspricht immer 100%; Die Einheit ist die gleiche wie die vom Prozentwert |
Dass der Zahlenwert vom Prozentsatz ungleich dem Zahlenwert vom Prozentwert sein kann, veranschaulicht das folgende Beispiel:
Beispiel
In einer 1. Lieferung von 72 Bauteilen sind 28 Bauteile defekt. In einer 2. Lieferung von 70 Bauteilen sind 27 Bauteile defekt. Welche Lieferung hat eine geringere Fehlerrate?
1. Lieferung:
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,88\% \)
28 Teile von einem Ganzen, welches 72 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,88%
Prozentsatz=38,8%; Prozentwert=28 Bauteile; Grundwert=72 Bauteile
2. Lieferung:
\(\dfrac{{27}}{{70}} \cdot 100\% = 38,57\% \)
27 Teile von einem Ganzen, welches 70 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,57%
Prozentsatz=38,57%; Prozentwert=27 Bauteile; Grundwert=70 Bauteile
→ Die 2. Lieferung hat eine geringere Fehlerrate
Promillerechnung
Bei der Promillerechnung legt man fest, dass dem Grundwert tausend Promille entspricht. So kann man verschiedene Promillewerte mit einander vergleichen. Das Promille-Symbol ‰ ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Promillewert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 1000‰ so erhält man den Promillesatz.
\({\text{Promillesatz = }}\dfrac{{{\text{Promillewert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 1000 ‰\)
Umwandlung Prozent in Bruch
Um einen Prozentsatz in einen Bruch umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz - aber ohne dem %-Symbol - in den Nenner eines Bruchs, dessen Zähler 100 ist.
Beispiel
\(7\% \buildrel \wedge \over = \dfrac{7}{{100}}\)
Umwandlung Bruch in Prozent
Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, dividiert man den Zähler durch den Nenner und multipliziert anschließend mit 100%
Beispiel
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,8\% \)
Umwandlung Prozent in Dezimalzahl
Um einen Prozentsatz in eine Dezimalzahl umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz ohne dem Prozentzeichen als Hundertstel an.
Beispiel
\(17\% \buildrel \wedge \over = 0,17\)
Umwandlung Dezimalzahl in Prozent
Um eine Dezimalzahl in einen Prozentsatz umzuwandeln, multipliziert man die Dezimalzahl mit 100%
Beispiel
\(1,567 \buildrel \wedge \over = 1,567 \cdot 100\% = 156,7\% \)
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Aufgaben
Aufgabe 6029
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem kartesischen Koordinatensystem sind
- die Ebene \(E:{x_1} + {x_3} = 2\)
- der Punkt \(A\left( {0\left| {\sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right)\)
- und die Gerade \(g:\overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right),\,\,\,\lambda \in {\Bbb R }\)
gegeben.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene E im Koordinatensystem hat.
2. Teilaufgabe a.2) 1 BE - Bearbeitungszeit 2:20
Weisen Sie nach, dass die Ebene E die Gerade g enthält.
3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und mit der x3 -Achse an.
4. Teilaufgabe a.4) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Veranschaulichen Sie die Lage der Ebene E sowie den Verlauf der Geraden g in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).
Die x1x2-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt A und verläuft entlang der Geraden g. Der Vektor
\(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\)
beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.
5. Teilaufgabe b.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.
6. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie im Modell die zugehörige Steigung dieses Abschnitts in Prozent.
An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich – in Fahrtrichtung gesehen – eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene E verläuft und den Mittelpunkt \(M\left( {0\left| {3 \cdot \sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right)\) hat. Das Lot von M auf g schneidet g im Punkt B. Im Modell stellt B den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt.
7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten von B.
8. Teilaufgabe c.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.
(Teilergebnis: \(B\left( { - 1\left| {2 \cdot \sqrt 2 \left| 3 \right.} \right.} \right)\)
Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt C beschrieben.
9. Teilaufgabe d) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts C gilt: \(\overrightarrow C = \overrightarrow M + \overrightarrow v \)
Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke [AB] und den Viertelkreis von B nach C dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 15 m/s.
10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem 10 m in der Realität entspricht.
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