Prozentrechnung
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Verhältnisgrößen
Bei manchen Fragestellungen ist ein Vergleich aussagekräftiger, wenn man die zu vergleichenden Größen zu deren „Anteil am Ganzen“ in Relation setzt. Der Vergleich von Anteilen erfolgt über den Umweg von Verhältnisgrößen wie Prozent, Promille oder Steigung
- Prozent
Der Prozentwert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert in Hundertstel an. 1% ist ein Hundertstel des Grundwerts. - Promille
Der Promillewert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert, in Tausendstel an. 1‰ ist ein Tausendstel des Grundwerts. - Steigung
Die Steigung s (einer Straße) gibt das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds v, zur horizontal zugrunde liegenden Strecke h an.
Beispiel:
z.B.: Ein Schulausflug kostet 50€ je Schüler. Eine Mutter verdient 1.000 € / Monat, eine andere Mutter verdient 2.000 € / Monat.
- Absolut kostet der Ausflug zwar jeder Mutter gleich viel (immer 50 €)
- In Anteilen am Einkommen gibt es aber einen wesentlichen Unterschied
- für die Mutter mit 1.000 € / Monat bedeuten 50 € eine Ausgabe von 5% ihres Monatseinkommens,
- für die andere Mutter bedeuten 50 € nur 2,5% ihres Monatseinkommen, d.h. ihre finanzielle Belastung ist nur halb so groß, wie die der 1. Mutter
Prozentrechnung
Bei der Prozentrechnung legt man fest, dass dem Grundwert hundert Prozent entspricht. So kann man verschiedene Prozentwerte mit einander vergleichen. Das Prozent-Symbol % ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Prozentwert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 100% so erhält man den Prozentsatz.
\({\text{Prozentsatz = }}\dfrac{{{\text{Prozentwert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 100\% \)
Prozentsatz | Prozentualer Anteil vom Prozentwert am Grundwert. Die Einheit ist % |
Prozentwert | Absoluter Anteil am Grundwert; Der Wert der mit dem Grundwert verglichen wird. Die Einheit ist die gleiche wie die vom Grundwert |
Grundwert | Das Ganze; Der Wert mit dem verglichen wird. Der Grundwert entspricht immer 100%; Die Einheit ist die gleiche wie die vom Prozentwert |
Dass der Zahlenwert vom Prozentsatz ungleich dem Zahlenwert vom Prozentwert sein kann, veranschaulicht das folgende Beispiel:
Beispiel
In einer 1. Lieferung von 72 Bauteilen sind 28 Bauteile defekt. In einer 2. Lieferung von 70 Bauteilen sind 27 Bauteile defekt. Welche Lieferung hat eine geringere Fehlerrate?
1. Lieferung:
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,88\% \)
28 Teile von einem Ganzen, welches 72 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,88%
Prozentsatz=38,8%; Prozentwert=28 Bauteile; Grundwert=72 Bauteile
2. Lieferung:
\(\dfrac{{27}}{{70}} \cdot 100\% = 38,57\% \)
27 Teile von einem Ganzen, welches 70 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,57%
Prozentsatz=38,57%; Prozentwert=27 Bauteile; Grundwert=70 Bauteile
→ Die 2. Lieferung hat eine geringere Fehlerrate
Promillerechnung
Bei der Promillerechnung legt man fest, dass dem Grundwert tausend Promille entspricht. So kann man verschiedene Promillewerte mit einander vergleichen. Das Promille-Symbol ‰ ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Promillewert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 1000‰ so erhält man den Promillesatz.
\({\text{Promillesatz = }}\dfrac{{{\text{Promillewert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 1000 ‰\)
Umwandlung Prozent in Bruch
Um einen Prozentsatz in einen Bruch umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz - aber ohne dem %-Symbol - in den Nenner eines Bruchs, dessen Zähler 100 ist.
Beispiel
\(7\% \buildrel \wedge \over = \dfrac{7}{{100}}\)
Umwandlung Bruch in Prozent
Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, dividiert man den Zähler durch den Nenner und multipliziert anschließend mit 100%
Beispiel
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,8\% \)
Umwandlung Prozent in Dezimalzahl
Um einen Prozentsatz in eine Dezimalzahl umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz ohne dem Prozentzeichen als Hundertstel an.
Beispiel
\(17\% \buildrel \wedge \over = 0,17\)
Umwandlung Dezimalzahl in Prozent
Um eine Dezimalzahl in einen Prozentsatz umzuwandeln, multipliziert man die Dezimalzahl mit 100%
Beispiel
\(1,567 \buildrel \wedge \over = 1,567 \cdot 100\% = 156,7\% \)
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Aufgaben
Aufgabe 4265
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zirkus - Aufgabe A_298
Teil b
Eine Gruppe von n Personen bestellt Eintrittskarten für einen anderen Zirkus zu einem Eintrittspreis von p Euro pro Person. Bis zum Tag der Vorstellung hat sich die Gruppengröße jedoch um k Personen erhöht, und der Veranstalter gewährt deshalb allen eine Ermäßigung von 5 % auf den Eintrittspreis.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie den richtigen Ausdruck zur Berechnung des insgesamt bezahlten Eintritts an.
[1 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: \(\dfrac{{\left( {n + k} \right) \cdot p}}{{0,95}}\)
- Aussage 2: \(\left( {n + k} \right) \cdot p \cdot 0,95\)
- Aussage 3: \(0,95 \cdot \left( {n + k \cdot p} \right)\)
- Aussage 4: \(0,05 \cdot \left( {n + k} \right) \cdot p\)
- Aussage 5: \(\left( {n \cdot k + p} \right) \cdot 0,95\)
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Aufgabe 4427
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parkgarage - Aufgabe B_485
Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.
Teil c
Die monatliche Miete für einen Parkgaragenplatz wird mit € 105 veranschlagt. Die Parkgarage verfügt über 120 Platze. Die Baugesellschaft rechnet mit monatlichen Mieteinnahmen in Hohe von € 10.080. Der Auslastungsgrad gibt an, wie viel Prozent der Parkgaragenplätze vermietet sind.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den Auslastungsgrad der Parkgarage, mit dem die Baugesellschaft rechnet.
[1 Punkt]
Aufgabe 4447
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kinderlieder - Aufgabe B_511
Eine Pädagogin fragt die 26 Kinder ihrer Gruppe, ob sie das Kinderlied "Aramsamsam" und ob sie das Kinderlied "Backe, backe Kuchen" kennen.
- 7 Kinder kennen beide Kinderlieder.
- Insgesamt 13 Kinder kennen das Kinderlied Aramsamsam.
- 3 Kinder kennen keines der beiden Kinderlieder.
Teil b
In der nachstehenden Tabelle sollen für diesen Sachverhalt die zugehörigen Prozentsätze für die Gruppe von 26 Kindern eingetragen werden.
kennen genau eines der beiden Kinderlieder | % |
kennen beide Kinderlieder | % |
kennen keines der beiden Kinderlieder | 11,54% |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie in der obigen Tabelle die beiden fehlenden Zahlen ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Vervollständigen Sie das nachstehende Kreisdiagramm so, dass es den durch die Tabelle beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.
[0 / 1 P.]