Hypergeometrische Verteilung
Formel
Hypergeometrische Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: 0 = Misserfolg / Niete bzw. 1 = Erfolg / Treffer. Die Grundgesamtheit vermindert sich aber bei jeder Wiederholungen, denn es handelt sich um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“. Das Ereignis X tritt genau k mal ein. Die hypergeometrische Verteilung kann durch eine Binomialverteilung approximiert werden, wenn \(\dfrac{N}{n} > 10\)
3 Parameter:
- N ... Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit (am Anfang vom Experiment)
- M ... Anzahl der Elemente (am Anfang vom Experiment) die ein „Erfolg“ sind
- n ... Anzahl der Ziehungen = Stichprobenumfang
- N-M Anzahl der Elemente, die kein "Erfolg" sind
- k … Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe: \(k \le n;\,\,\,\,\,k \le M;\,\,\,\,\,n - k \le N - M\)
Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung
\(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} M\\ k \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {N - M}\\ {n - k} \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} N\\ n \end{array}} \right)}}\)
Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung
\(F\left( X \right) = \sum\limits_{k = 0}^x {\dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} M\\ k \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {N - M}\\ {n - k} \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} N\\ n \end{array}} \right)}}} \)
Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot \dfrac{M}{N}\)
Varianz der hypergeometrischen Verteilung
\(Var\left( X \right) = V\left( X \right) = {\sigma ^2} = n \cdot \dfrac{M}{N} \cdot \left( {1 - \dfrac{M}{N}} \right) \cdot \dfrac{{N - n}}{{N - 1}}\)
Beispiel österreichisches Lotto "6 aus 45" (in Deutschland: 6 aus 49)
N = 45 ... Grundgesamtheit. Also die Anzahl der möglichen Kugeln, die gezogen werden können.
M=6 ... Anzahl der Elemente, die ein Erfolg sind. Also die Anzahl der gezogenen Kugeln
n=6 ... Anzahl der Ziehungen
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Schließende Statistik | Die schließende Statistik ermöglicht es von einer (kleinen) Stichprobe auf die (große) Grundgesamtheit G zu schließen. Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge, die der Grundgesamtheit zufällig entnommen wurde. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wertet die Ergebnisse von Zufallsexperimenten aus. |
Aktuelle Lerneinheit
Hypergeometrische Verteilung | Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung. Die Grundgesamtheit vermindert sich aber bei jeder Wiederholungen, denn es handelt sich um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Standardnormalverteilung | Unter der Standardnormalverteilung versteht man die mit μ=0 und σ=1 standardisierte Normalverteilung. Mit Hilfe der z-Transformation rechnet man beliebige Erwartungswerte bzw. Standardabweichungen auf die Standardnormalverteilung um. |
Konfidenzintervall | Bei der Ermittlung statistischer Parameter prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen. Konfidenzintervalle definieren einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. |
Gleichverteilung - Disparität - Konzentration | Von Gleichverteilung spricht man, wenn jeder Merkmalsträger den gleichen Anteil an der Merkmalssumme auf sich vereint. |
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung | Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Ereignis (zB ein Produktfehler) nach weiteren t Minuten eintritt, nachdem man schon s Minuten gewartet hat. Man spricht auch von der "Nichtalterungseigenschaft". |
Exponentialverteilung | Die Exponetialfunktion wird zur Modellierung von der Zeit zwischen 2 Ereignissen oder der Lebensdauer von Bauteilen verwendet. |
Rechteckverteilung | Die Rechteckverteilung im Intervall [a, b] ist eine stetige Gleichverteilung, bei der jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. |
Normalverteilung | Die Normalverteilung, auch gaußsche-Glockenverteilung genannt, ist zusammen mit ihrem Spezialfall der Standardnormalverteilung die wichtigste Verteilungsfunktion. |
Poissonverteilung | Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung wenn n sehr groß (größer 100) ist, verbunden mit einer sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit die gegen Null konvergiert |
Bernoulli-Verteilung | Die Bernoulli-Verteilung ist die einfachste diskrete Verteilung. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) genau 1 Mal ausführt. Die Bernoulli Verteilung ist daher ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1. |
Histogramm der Häufigkeitsverteilung | Histogramme schauen ähnlich aus wie Balkendiagramme - man benötigt zu deren grafischer Darstellung die jeweilige Balkenbreite (Klassenbreite) und die Balkenhöhe (=relativer / prozentueller Anteil der Messwerte) |
Stetige Zufallsvariable | Man spricht von einer stetigen Zufallsvariablen, wenn die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments unendlich, also nicht abzählbar, ist. |
Diskrete Zufallsvariable | Für diskrete Zufallsvariablen ist die Anzahl der Ergebnisse eines Zufallsexperiments endlich, also abzählbar. Sie wird durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben. |
Zufallsvariable | Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zu. |
Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten | Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Wir unterscheiden zwischen Bernoulli und Laplace Experiment. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1026
AHS - 1_026 & Lehrstoff: WS 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilung
- Aussage 1: In der Kantine eines Betriebs essen 80 Personen. Am Montag werden ein vegetarisches Gericht und drei weitere Menüs angeboten. Erfahrungsgemäß wählt jede vierte Person das vegetarische Gericht. Es werden 20 vegetarische Gerichte vorbereitet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese nicht ausreichen?
- Aussage 2: Bei einer Lieferung von 20 Mobiltelefonen sind fünf defekt. Es werden drei Geräte gleichzeitig entnommen und getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens zwei davon defekt?
- Aussage 3: In einer Klasse müssen die Schüler/innen bei der Überprüfung der Bildungsstandards auf einem anonymen Fragebogen ihr Geschlecht (m, w) ankreuzen. Die Wahrscheinlichkeit, das Ankreuzen des Geschlechts nicht durchzuführen, ist für Buben und Mädchen gleich. In der Klasse sind 16 Schülerinnen und 12 Schüler. Fünf Personen haben auf dem Fragebogen das Geschlecht nicht angekreuzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich drei Schüler unter den fünf Personen?
- Aussage 4: Ein Großhändler erhält eine Lieferung von 2 000 Mobiltelefonen, von denen erfahrungsgemäß 5 % defekt sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich 80 bis 90 defekte Geräte in der Lieferung?
- Aussage 5: In einer Klinik werden 500 kranke Personen mit einem bestimmten Medikament behandelt. Die Wahrscheinlichkeit, dass schwere Nebenwirkungen auftreten, beträgt 0,001. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei mehr als zwei Personen schwere Nebenwirkungen auftreten?
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige(n) Situation(en) an, die mithilfe der Binomialverteilung modelliert werden kann/können!