Stetige Zufallsvariable
Formel
Stetige Zufallsvariable
Man spricht von einer stetigen Zufallsvariablen, wenn die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments unendlich,also nicht abzählbar, ist. Sie wird durch eine Dichtefunktion und/oder eine Verteilungsfunktion beschrieben.
Spezielle Verteilungen stetiger Zufallsvariabler sind
- Rechtecksverteilung
- Exponentialverteilung
- Normalverteilung
- Standardnormalverteilung
Dichtefunktion
Die Fläche unter der Dichtefunktion beschreibt (mittels Integralrechnung) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die stetige Zufallsvariable innerhalb vom Intervall [a, b] liegt. Umgekehrt bedeutet dies, dass in Intervallen in denen die Dichte (de-facto) Null ist auch (de-facto) keine Realisierungen von X liegen, während in Intervallen mit hoher Dichte auch eine große Anzahl an Realisierungen von X liegen.
Dichtefunktion f(x): \(P\left( {a < X \le b} \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) , wobei die Fläche unter der Dichtefunktion normiert ist gemäß: \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = 1\)
Die Dichtefunktion ist für stetige Zufallsvariablen das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsvariablen. Sie kann nur positive Werte annehmen und die gesamte Fläche unter ihrem Graph hat den Wert 1. Aus der Dichtefunktion f(x) lässt sich keine Wahrscheinlichkeit P(X) ablesen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetige Zufallsvariable X einen konkreten Wert x annimmt, Null ist. Es gilt also: \(f\left( x \right) \ne P\left( {X = x} \right)\)
Zwischen der Dichtefunktion f(x) und der Verteilungsfunktion F(x) besteht folgender Zusammenhang:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = F'\left( x \right)\\ F\left( X \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {f(t)\,\,dt} \end{array}\)
Durch Ableiten der Verteilfunktion F erhält man die Dichtefunktion. Aus einer gegebenen Dichtefunktion f erhält man durch Integrieren die Verteilfunktion F.
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion F(x) einer stetigen Zufallsvariablen gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine Zufallsvariable X einen Wert der kleiner oder gleich x annimmt. Sie entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion f(t), die sich bis zum Wert x kumuliert hat.
\(F(X) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( t \right)} \,\,dt\)
Weil bei stetigen Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Wert Null ist, gemäß \(P(X = x) = 0\) ist es egal, ob die Intervallgrenze zum Intervall gezählt wird [a, b], oder ob nicht (a, b):
\(P\left( {a \le X \le b} \right) = P\left( {a < X \le b} \right) = P\left( {a \le X < b} \right) = P\left( {a < X < b} \right) = F(b) - F(a)\)
Erwartungswert
Der Erwartungswert E(X) einer stetigen Zufallsvariable X gibt an, welchen Wert die Zufallsvariable X im Mittel bei einer unbegrenzten Wiederholung annimmt. Gegenüber dem Erwartungswert einer diskreten Verteilung ersetzt man bei der stetigen Verteilung die Summe durch das Integral und die Wahrscheinlichkeit P(X=xi) durch die Dichtefunktion f(x).
\(E(X) = \mu = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x \cdot f\left( x \right)} \,\,dx\)
Varianz
Die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen ist die mittlere quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert und somit ein Streumaß der beschreibenden Statistik.
\({\sigma _x}^2 = Var\left( X \right) = E{\left( {X - {\mu _x}} \right)^2} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {x - {\mu _x}} \right)}^2}} \cdot f\left( x \right)\,\,dx\)
Verschiebungssatz
Der Verschiebungssatz für stetige Zufallsvariablen kann den Rechenaufwand für die Berechnung der Varianz verringern.
- Der 1. Term ist das einfacher zu rechnende Integral von X2 , also dem Erwartungswert von X2
- Der 2. Term ist ganz simpel das Quadrat vom Erwartungswert von X
\({\sigma _x}^2 = Var(X) = E{\left( X \right)^2} - {\left( {E\left( X \right)} \right)^2} = \left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{x^2} \cdot f\left( x \right)\,\,dx} } \right) - {\left( {E\left( X \right)} \right)^2}\)
Standardabweichung
Die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen hat den Nachteil, als Einheit das Quadrat der Einheit der zugrunde liegenden Zufallsvariablen zu haben. Das ist bei der Standardabweichung (auf Grund der Quadratwurzel) und beim Erwartungswert nicht der Fall.
\({\sigma _x} = \sqrt {Var\left( X \right)} \)
Physikalische Analogie für den Erwartungswert und für die Varianz:
- Physikalisch entspricht der Erwartungswert dem Schwerpunkt. Man muss sich dabei die Massen R(X=xi) an den Positionen xi entlang vom Zahlenstrahl x plaziert vorstellen.
- Physikalisch entspricht die Varianz dem Trägheitsmoment, wenn man den oben beschriebenen Zahlenstrahl um eine Achse dreht, die senkrecht auf den Zahlenstrahl steht und die durch den Schwerpunkt verläuft
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Schließende Statistik | Die schließende Statistik ermöglicht es von einer (kleinen) Stichprobe auf die (große) Grundgesamtheit G zu schließen. Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge, die der Grundgesamtheit zufällig entnommen wurde. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wertet die Ergebnisse von Zufallsexperimenten aus. |
Aktuelle Lerneinheit
Stetige Zufallsvariable | Man spricht von einer stetigen Zufallsvariablen, wenn die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments unendlich, also nicht abzählbar, ist. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Standardnormalverteilung | Unter der Standardnormalverteilung versteht man die mit μ=0 und σ=1 standardisierte Normalverteilung. Mit Hilfe der z-Transformation rechnet man beliebige Erwartungswerte bzw. Standardabweichungen auf die Standardnormalverteilung um. |
Konfidenzintervall | Bei der Ermittlung statistischer Parameter prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen. Konfidenzintervalle definieren einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. |
Gleichverteilung - Disparität - Konzentration | Von Gleichverteilung spricht man, wenn jeder Merkmalsträger den gleichen Anteil an der Merkmalssumme auf sich vereint. |
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung | Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Ereignis (zB ein Produktfehler) nach weiteren t Minuten eintritt, nachdem man schon s Minuten gewartet hat. Man spricht auch von der "Nichtalterungseigenschaft". |
Exponentialverteilung | Die Exponetialfunktion wird zur Modellierung von der Zeit zwischen 2 Ereignissen oder der Lebensdauer von Bauteilen verwendet. |
Rechteckverteilung | Die Rechteckverteilung im Intervall [a, b] ist eine stetige Gleichverteilung, bei der jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. |
Normalverteilung | Die Normalverteilung, auch gaußsche-Glockenverteilung genannt, ist zusammen mit ihrem Spezialfall der Standardnormalverteilung die wichtigste Verteilungsfunktion. |
Hypergeometrische Verteilung | Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung. Die Grundgesamtheit vermindert sich aber bei jeder Wiederholungen, denn es handelt sich um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“. |
Poissonverteilung | Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung wenn n sehr groß (größer 100) ist, verbunden mit einer sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit die gegen Null konvergiert |
Bernoulli-Verteilung | Die Bernoulli-Verteilung ist die einfachste diskrete Verteilung. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) genau 1 Mal ausführt. Die Bernoulli Verteilung ist daher ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1. |
Histogramm der Häufigkeitsverteilung | Histogramme schauen ähnlich aus wie Balkendiagramme - man benötigt zu deren grafischer Darstellung die jeweilige Balkenbreite (Klassenbreite) und die Balkenhöhe (=relativer / prozentueller Anteil der Messwerte) |
Diskrete Zufallsvariable | Für diskrete Zufallsvariablen ist die Anzahl der Ergebnisse eines Zufallsexperiments endlich, also abzählbar. Sie wird durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben. |
Zufallsvariable | Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zu. |
Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten | Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Wir unterscheiden zwischen Bernoulli und Laplace Experiment. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1188
AHS - 1_188 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kennzahlen der Binomialverteilung
Auf einer Sortieranlage werden Flaschen von einem Scanner untersucht und es wird die Art des Kunststoffes ermittelt. 95 % der Flaschen werden richtig erkannt und in die bereitgestellten Behälter einsortiert. Die Werte der Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der falschen Entscheidungen bei einem Stichprobenumfang von 500 Stück. Verwenden Sie die Binomialverteilung als Modell.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Zufallsvariable X!
Aufgabe 1045
AHS - 1_045 & Lehrstoff: WS 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Testung
Es werden zwei Tests TX und TY, bei denen man jeweils maximal zehn Punkte erwerben kann, auf ihre Lösungshäufigkeit untersucht. Bei mehr als fünf Punkten gilt der jeweilige Test als bestanden. Die Zufallsvariablen X und Y beschreiben die Anzahl der erreichten Punkte. Die beiden untenstehenden Abbildungen zeigen jeweils die Verteilungen der beiden Variablen X und Y.
- Aussage 1: Mit Test TY werden mehr Kandidatinnen/Kandidaten den Test bestehen als mit Test TX.
- Aussage 2: Beide Zufallsvariablen X und Y sind binomialverteilt.
- Aussage 3: Die Erwartungswerte sind gleich: E(X) = E(Y).
- Aussage 4: Die Standardabweichungen sind gleich: σ X = σ Y.
- Aussage 5: Der Test TX unterscheidet besser zwischen Kandidatinnen/Kandidaten mit schlechteren und besseren Testergebnissen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenigen zwei Aussagen an, die aus den gegebenen Informationen ablesbar sind!
Aufgabe 1127
AHS - 1_127 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Datenreihe
Der arithmetische Mittelwert \(\overline x\) der Datenreihe \({x_1},\,\,{x_2},\,\,...,\,\,{x_{10}}{\text{ ist }}\overline x = 20\). Die Standardabweichung σ der Datenreihe ist σ = 5. Die Datenreihe wird um die beiden Werte x11 = 19 und x12 = 21 ergänzt.
- Aussage 1: Das Maximum der neuen Datenreihe x1, ... , x12 ist größer als das Maximum der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10.
- Aussage 2: Die Spannweite der neuen Datenreihe x1, ... , x12 ist um 2 größer als die Spannweite der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10.
- Aussage 3: Der Median der neuen Datenreihe x1, ... , x12 stimmt immer mit dem Median der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10 überein.
- Aussage 4: Die Standardabweichung der neuen Datenreihe x1, ... , x12 ist kleiner als die Standardabweichung der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10.
- Aussage 5: Der arithmetische Mittelwert der neuen Datenreihe x1, ... , x12 stimmt mit dem arithmetischen Mittelwert der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10 überein.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1128
AHS - 1_128 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Arithmetisches Mittel einer Datenreihe
Für das arithmetische Mittel einer Datenreihe \({x_1},\,\,{x_2},\,\,...,\,\,{x_{24}}{\text{ gilt }}\overline x = 115\). Die Standardabweichung der Datenreihe ist sx = 12. Die Werte einer zweiten Datenreihe \({y_1},\,\,{y_2},\,\,...,\,\,{y_{24}}\) entstehen, indem man zu den Werten der ersten Datenreihe jeweils 8 addiert, also \({y_1} = {x_1} + 8;\,\,\,\,\,{y_2} = {x_2} + 8\) usw.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Mittelwert und die Standardabweichung sy der zweiten Datenreihe an!
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Aufgabe 1230
AHS - 1_230 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sportwettbewerb
150 Grazer und 170 Wiener Schüler/innen nahmen an einem Sportwettbewerb teil. Der Vergleich der Listen der Hochsprungergebnisse ergibt für beide Schülergruppen das gleiche arithmetische Mittel von 1,05 m sowie eine empirische Standardabweichung für die Grazer von 0,22 m und für die Wiener von 0,3 m.
- Aussage 1: Die Sprunghöhen der Grazer Schüler/innen weichen vom arithmetischen Mittel nicht so stark ab wie die Höhen der Wiener Schüler/innen.
- Aussage 2: Das arithmetische Mittel repräsentiert die Leistungen der Grazer Schüler/innen besser als die der Wiener.
- Aussage 3: Die Standardabweichung der Grazer ist aufgrund der geringeren Teilnehmerzahl kleiner als die der Wiener.
- Aussage 4: Von den Sprunghöhen (gemessen in m) der Wiener liegt kein Wert außerhalb des Intervalls [0,45; 1,65].
- Aussage 5: Beide Listen haben den gleichen Median.
Aufgabenstellung
Entscheiden Sie, welche Aussagen aus den gegebenen Daten geschlossen werden können, und kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1495
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter einer Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment wird durch eine binomialverteilte Zufallsvariable X beschrieben. Diese hat die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,36 und die Standardabweichung σ = 7,2.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den zugehörigen Parameter n (Anzahl der Versuche)!
Aufgabe 1050
AHS - 1_050 & Lehrstoff: WS 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bernoulli-Experiment
Beim Realisieren eines Bernoulli-Experiments tritt Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit p mit 0 < p < 1 ein. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der Erfolge beim n-maligen unabhängigen Wiederholen des Experiments. E bezeichnet den Erwartungswert, V die Varianz und σ die Standardabweichung.
- Aussage 1: \(E\left( X \right) = \sqrt {n \cdot p}\)
- Aussage 2: \(V\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {X = 0} \right) = 0\)
- Aussage 4:\(P\left( {X = 1} \right) = p\)
- Aussage5: \(V\left( X \right) = {\sigma ^2}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für n > 1 zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1378
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Änderung statistischer Kennzahlen
Gegeben ist eine geordnete Liste mit neun Werten a1, a2, ... , a9. Der Wert a1 wird um 5 vergrößert, der Wert a9 wird um 5 verkleinert, die restlichen Werte der Liste bleiben unverändert. Durch die Abänderung der beiden Werte a1 und a9 kann sich eine neue, nicht geordnete Liste ergeben.
- Aussage 1: arithmetisches Mittel
- Aussage 2: Median
- Aussage 3: Modus
- Aussage 4: Spannweite
- Aussage 5: Standardabweichung
Aufgabenstellung:
Welche statistischen Kennzahlen der Liste werden durch die genannten Änderungen in keinem Fall verändert? Kreuzen Sie die entsprechende(n) statistische(n) Kennzahl(en) an!
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Aufgabe 1426
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Statistische Kennzahlen
Gegeben ist eine Liste mit n natürlichen Zahlen a1, a2, ... , an.
- Aussage 1: arithmetisches Mittel
- Aussage 2: Standardabweichung
- Aussage 3: Spannweite
- Aussage 4: Median
- Aussage 5: Modus
Aufgabenstellung:
Welche statistischen Kennzahlen der Liste bleiben gleich, wenn jeder Wert der Liste um 1 erhöht wird? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!
Aufgabe 1291
AHS - 1_291 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilte Zufallsvariable
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25.
x | P(x) |
0 | 0,1001 |
1 | 0,2670 |
2 | 0,3115 |
3 | 0,2076 |
4 | 0,0865 |
5 | 0,0231 |
6 | 0,0038 |
7 | 0,0004 |
8 | 0,00002 |
Aufgabenstellung:
μ ist der Erwartungswert, σ die Standardabweichung der Verteilung.
Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit: \(P\left( {\mu - \sigma < X < \mu + \sigma } \right)\)
Aufgabe 1635
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vergleich zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen
In den nachstehenden Diagrammen sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zweier Zufallsvariablen X und Y dargestellt. Die Erwartungswerte der Zufallsvariablen werden mit E(X) und E(Y), die Standardabweichungen mit σ (X) und σ (Y) bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: \(E\left( X \right) = E\left( Y \right)\)
- Aussage 2: \(\sigma \left( X \right) > \sigma \left( Y \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {X \leqslant 3} \right) < P\left( {Y \leqslant 3} \right)\)
- Aussage 4: \(P\left( {3 \leqslant X \leqslant 7} \right) = P\left( {3 \leqslant Y \leqslant 7} \right)\)
- Aussage 5: \(P\left( {X \leqslant 5} \right) = 0,3\)
Aufgabe 4158
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Die Adria-Wien-Pipeline - Aufgabe A_280
Österreich muss einen Großteil seines Erdölbedarfs durch Importe von Rohöl decken. Diese Importe werden vorwiegend über die Adria-Wien-Pipeline durchgeführt, die von Triest nach Wien-Schwechat führt.
Teil a
Die folgende Tabelle gibt die nach Österreich importierten Rohölmengen in den Jahren 2006 bis 2014 an:
Jahr | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
importierte Rohölmenge in Mio. t |
7,7 | 7,6 | 7,9 | 7,4 | 6,8 | 7,3 | 7,4 | 7,8 | 7,5 |
Quelle: https://www.wko.at/branchen/industrie/mineraloelindustrie/jahresberichte.html
[22.11.2018]
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der importierten Rohölmengen für diesen Zeitraum in Millionen Tonnen.
[1 Punkt]
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