Aufgabe 1050
AHS - 1_050 & Lehrstoff: WS 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bernoulli-Experiment
Beim Realisieren eines Bernoulli-Experiments tritt Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit p mit 0 < p < 1 ein. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der Erfolge beim n-maligen unabhängigen Wiederholen des Experiments. E bezeichnet den Erwartungswert, V die Varianz und σ die Standardabweichung.
- Aussage 1: \(E\left( X \right) = \sqrt {n \cdot p}\)
- Aussage 2: \(V\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {X = 0} \right) = 0\)
- Aussage 4:\(P\left( {X = 1} \right) = p\)
- Aussage5: \(V\left( X \right) = {\sigma ^2}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für n > 1 zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Einem n-fach wiederholgen Bernoulli-Experiment liegt die sogenannte Binomialverteilung zugrunde. Für die Binomialverteilung gilt gemäß Formelsammlung:
- Erwartungswert der Binomialverteilung: \(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)
- Varianz der Binomialverteilung: \({\sigma ^2} = Var\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
- Standardabweichung der Binomialverteilung: \(\sigma = \sqrt {Var(X)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Entsprechend den oben angeführten Formeln für die einem n-fach wiederholten Bernoulli-Experiment zugrunde liegende Binomialverteilung können wir die 5 Aussagen wie folgt beantworten:
- Aussage 1: Falsch, weil \(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)
- Aussage 2: Richtig, weil so die Formel für die Varianz der Binomialverteilung lautet
- Aussage 3: Falsch, weil
\(\begin{array}{l} P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\\ {\text{für k = 0 gilt:}}\\ P\left( {X = 0} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {p^0} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( n \right)}} = 1 \cdot 1 \cdot {\left( {1 - p} \right)^n} \ne 0{\text{ weil p < 1}} \end{array} \)
- Aussage 4: Falsch, weil
\(\begin{array}{l} P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\\ {\text{für k = 1 gilt:}}\\ P\left( {X = 1} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {p^1} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - 1} \right)}} = n \cdot p \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - 1}} \ne p{\text{ ausgenommen n = }}1 \end{array}\)
- Aussage 5: Richtig, weil die Varianz das Quadrat der Standardabweichung ist, also \(V\left( X \right) = {\sigma ^2}\) gilt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.