Aufgabe 1128
AHS - 1_128 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Arithmetisches Mittel einer Datenreihe
Für das arithmetische Mittel einer Datenreihe \({x_1},\,\,{x_2},\,\,...,\,\,{x_{24}}{\text{ gilt }}\overline x = 115\). Die Standardabweichung der Datenreihe ist sx = 12. Die Werte einer zweiten Datenreihe \({y_1},\,\,{y_2},\,\,...,\,\,{y_{24}}\) entstehen, indem man zu den Werten der ersten Datenreihe jeweils 8 addiert, also \({y_1} = {x_1} + 8;\,\,\,\,\,{y_2} = {x_2} + 8\) usw.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Mittelwert und die Standardabweichung sy der zweiten Datenreihe an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Arithmetischer Mittelwert
Lagemaß, errechnet sich aus der Summe aller erhobenen Werte, dividiert durch die Anzahl der Werte.
\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)
Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit im Durchschnitt die einzelnen Messwerte vom Mittelwert entfernt liegen, dh wie weit die einzelnen Messwerte um den Mittelwert streuen.
\(\eqalign{ & s = \sqrt {{s^2}} = \sigma = \sqrt {{\sigma ^2}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ...{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n}} \cr & s = \sqrt {\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}\,\,} } \cr}\)
Lösungsweg
Mittelwert \(\overline y\):
Wenn sich jeder einzelne Wert der Datenreihe x1, x2 ,... x24 um 8 erhöht um daraus die Datenreihe y1, y2, ... y24 zu errechnen, dann muss sich auch der Mittelwert der neuen Datenreihe um 8 erhöhen. ⇒ \(\overline y = 115 + 8 = 123\)
Standardabweichung sy:
Da sich bei der Datenreihe y1, y2, ... y24 jeder einzelne Wert und gleichzeitig auch der Mittelwert um 8 erhöht hat, dann bleibt der Abstand von jedem Messwert zum Mittelwert (123) unverändert gegenüber der ursprünglichen Datenreihe. ⇒ \({s_x} = {s_y} = 12\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l}
\overline y = 123\\
{s_y} = 12
\end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn beide Werte richtig angegeben sind.