Aufgabe 1230
AHS - 1_230 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sportwettbewerb
150 Grazer und 170 Wiener Schüler/innen nahmen an einem Sportwettbewerb teil. Der Vergleich der Listen der Hochsprungergebnisse ergibt für beide Schülergruppen das gleiche arithmetische Mittel von 1,05 m sowie eine empirische Standardabweichung für die Grazer von 0,22 m und für die Wiener von 0,3 m.
- Aussage 1: Die Sprunghöhen der Grazer Schüler/innen weichen vom arithmetischen Mittel nicht so stark ab wie die Höhen der Wiener Schüler/innen.
- Aussage 2: Das arithmetische Mittel repräsentiert die Leistungen der Grazer Schüler/innen besser als die der Wiener.
- Aussage 3: Die Standardabweichung der Grazer ist aufgrund der geringeren Teilnehmerzahl kleiner als die der Wiener.
- Aussage 4: Von den Sprunghöhen (gemessen in m) der Wiener liegt kein Wert außerhalb des Intervalls [0,45; 1,65].
- Aussage 5: Beide Listen haben den gleichen Median.
Aufgabenstellung
Entscheiden Sie, welche Aussagen aus den gegebenen Daten geschlossen werden können, und kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Zusammenhang Standardabweichung - Varianz - Anzahl der Werte
\(s = \sigma = \sqrt {Var(x)} = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n}} \) ⇒ \(n \downarrow \Rightarrow s \uparrow \)
Wahrscheinlichkeiten für \(\sigma\) -Umgebungen bei einer Normalverteilung:
wobei man bei Verteilungen vom Erwartungswert und bei Reihen vom Mittelwert spricht, in diesem Sinne gilt: \(\mu = \overline x \)
\(\eqalign{ & P\left( {\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma } \right) \approx 0,683 \cr & P\left( {\mu - 2 \cdot \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2 \cdot \sigma } \right) \approx 0,954 \cr & P\left( {\mu - 3 \cdot \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3 \cdot \sigma } \right) \approx 0,997 \cr} \)
Median bzw. Zentralwert
Der Median ist der in der Mitte stehende Wert xi einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste.
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil die Standardabweichung ein Maß für die Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert ist und die Standardabweichung bei den Grazer Schülern mit 0,22 kleiner ist als jede der Wiener mit 0,3.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil die Standardabweichung ein Maß für die Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert ist und die Standardabweichung bei den Grazer Schülern mit 0,22 kleiner ist und der Mittelwert daher repräsentativer für alle Werte ist, als dies bei einer größeren Standardabweichung der Fall wäre.
- Ausssage 3: Diese Aussage ist falsch, weil eine geringe Teilnehmeranzahl (n steht im Nenner) für eine große Varianz und somit für eine große Standardabweichung spricht.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil es sich bei dem Intervall [0,45; 1,65] um den Mittelwert (1,05) +/- die doppelte Standardabweichung (0,3) gemäß \(1,05 \pm 2\sigma = 1,05 \pm 2 \cdot 0,3 \to \left[ {0,45;1,65} \right]\) handlet. In diesem Intervall liegen aber statistisch gesehen nur 95,4% aller Werte, oder umgekehrt gesagt ca. 4,6% der Werte liegen außerhalb.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil es reiner Zufall wäre, wenn der Median - also der genau in der Mitte stehende Wert - bei 150 bzw. 170 Werten genau der gleiche Wert wäre. Dass der Mittelwert gleich ist, hat mit dem Median nichts zu tun.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.