Aufgabe 6005
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Tangente an eine Logarithmusfunktion
Gegeben ist die Funktion
\(g:x \mapsto \ln \left( {2x + 3} \right)\)
mit maximaler Definitionsmenge D und Wertemenge W. Der Graph von g wird mit Gg bezeichnet.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie D und W an.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an Gg im Schnittpunkt von Gg mit der x-Achse.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Logarithmusfunktion ln(x) ist nur für den Bereich x>0 definiert, also für den Definitionsbereich \({{\Bbb R}^ + }\). Wir untersuchen nun, für welche x der Wert in der Klammer positiv ist:
\(\eqalign{ & \left( {2x + 3} \right) > 0\,\,\,\,\,\left| { - 3} \right.\,\,\,\,\,\left| {:2} \right. \cr & x > - \dfrac{3}{2} = - 1,5 \cr} \)
→ Definitionsmenge bzw Definitionsbereich: \(D = \left] { - 1,5; + \infty } \right[\)
Wenden wir uns nun dem Wertebereich zu:
- Für x→0 strebt der Wertebereich von ln(x) gegen minus unendlich.
- Für x→∞ strebt der Wertebereich von ln(x) gegen plus unendlich.
→ Wertemenge bzw. Wertebereich: \(W = {\Bbb R}\)
2. Teilaufgabe:
Der Schnittpunkt von Gg mit der x-Achse ist nichts anderes als die Nullstelle der Funktion g, also g(x)=0
\(\eqalign{ & \ln \left( {2x + 3} \right) = 0\,\,\,\,\,\left| e \right. \cr & 2x + 3 = {e^0} = 1\,\,\,\,\,\left| { - 3\,\,\,\,\,\left| {:2} \right.} \right. \cr & x = - 1 \cr} \)
Die Nullstelle der Funktion, die zugleich ein Punkt der gesuchten Tangente ist, hat die Koordinaten (-1|0).
Die Steigung der Tangente ergibt sich aus der 1. Ableitung von g(x), also aus g‘(x): Wir erinnern uns an die Ableitung vom ln(x) und denken an die innere Ableitung vom Klammerausdruck:
\(\eqalign{ & f(x) = \ln \left( x \right) \cr & f'(x) = \dfrac{1}{x} \cr & \cr & g(x) = \ln \left( {2x + 3} \right) \cr & g'(x) = \dfrac{1}{{2x + 3}} \cdot 2 = \dfrac{2}{{2x + 3}} \cr & g'\left( {x = - 1} \right) = \dfrac{2}{{2 \cdot \left( { - 1} \right) + 3}} = 2 \cr} \)
Von der gesuchten Tangente vom Typ \(y = k \cdot x + d\) kennen wir einen Punkt (-1|0) und deren Steigung k=2. Um den fehlenden Ordinatenabschnitt d zu erhalten, setzen wir den Punkt in die Gleichung ein:
\(\eqalign{ & NST( - 1|0) \cr & k = 2 \cr & \cr & y = k \cdot x + d \cr & 0 = 2 \cdot \left( { - 1} \right) + d \cr & d = 2 \cr} \)
Somit lautet die Hauptform der Geradengleichung der Tangente:
\(y = 2 \cdot x + 2\)
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(D = \left] { - 1,5; + \infty } \right[\)
\(W = {\Bbb R}\)
2. Teilaufgabe:
\(y = 2 \cdot x + 2\)