Aufgabe 1057
AHS - 1_057 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vektoren im Dreieck
Ein Dreieck ABC ist rechtwinklig mit der Hypotenuse AB.
- Aussage 1: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)
- Aussage 2: \({\overrightarrow {AB} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2}\)
- Aussage 3: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC}\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} \)
- Aussage 5: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\)
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen sind jedenfalls richtig? Kreuzen Sie die beiden entsprechenden Aussagen an!
Lösungsweg
Wir machen eine Skizze aus der wir die wesentlichen Zusammenhänge im rechtwinkeligen Dreieck entnehmen können:
Zur Aussage 2:
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \varphi \cr & \cos (0) = 1 \cr & \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot 1 \cr & \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} \cr} \)
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst bzw. das Quadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat vom Betrag vom Vektor
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil die Hypotenuse \({\overrightarrow {AB} }\) nicht gleich lang sein kann wie die Kathete \({\overrightarrow {AC} }\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil es sich dabei um eine Schreibweise vom pythagoräischen Lehrsatz handelt.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil dies ausschließlich im einzigen Spezialfall eines gleichschenkeligen Dreiecks der Fall wäre.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} \). Der Betrag ist zwar gleich, aber die Orientierung ist die umgekehrte.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil sie dem Orthogonalitätskriterium \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\) entspricht.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.