Aufgabe 1519

Nachdem X binomialverteilt ist, lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass k „günstige“ Fälle eintreten, folgendermaßen errechnen:

\(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)

• Die Zahl n=25 ist dabei die Gesamtanzahl der Versuche.
• p gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit ein einzelnes Zufallsexperiment „günstig“ ausgeht. Leider wissen wir noch nichts über die Wahrscheinlichkeit p.
• Zum Glück haben wir noch Information über den Erwartungswert: \(\eqalign{ & E(X) = n \cdot p = 10 \to 15 \cdot p = 10 \cr & \Rightarrow P = \dfrac{{10}}{{25}} = 0,4 \cr} \)

• Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil eine Wahrscheinlichkeit nie größer als 1 sein kann. P(X = 25) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass 25-mal das Ereignis „günstig“ eingetreten ist. Nachdem der Erwartungswert 10 ist, muss die Wahrscheinlichkeit auf alle Fälle strikt kleiner als 1 sein.
• Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil wenn man das Zufallsexperiment durchführt, weiß man über dessen Ausgang nicht Bescheid. Es kann durchwegs vorkommen, dass 25-mal der „günstige“ Fall eintritt. Auf der anderen Seite kann es durchaus auch vorkommen, dass 25-mal der Fall „ungünstig“ eintritt. Der Erwartungswert prognostiziert lediglich den zu erwartenden Wert nach einer Durchführung des Experimentes.
• Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil wir bereits im 1. Absatz die Wahrscheinlichkeit zu \(P = \dfrac{{10}}{{25}} = 0,4 \approx 40\% \) bestimmt haben, mit der ein einzelnes Zufallsexperiment „günstig“ ausgeht.
• Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil gemäß der Formel für den Erwartungswert \(E(X) = n \cdot p\) für n=50 und p=0,4 wie folgt gilt: \(E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0,4 = 20\)
• Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil es nicht möglich ist , dass \(P(X > 10) > P(X > 8)\) ist, da \(X > 8\) aus den 3 Fällen \(X > 10,{\text{ X}} = 9\) und \(X = 10\) besteht. Also können wir schreiben:
  \(\eqalign{ & P(X > 10) > P(X > 10) + P(X = 10) + P(X = 9)\,\,\,\,\,\,| - P(X > 10) \cr & 0 > P(X = 10) + P(X = 9) \cr} \)

  Das ist allerdings nicht möglich, da hier eine der beiden Wahrscheinlichkeiten kleiner als 0 sein müsste und dies nach Definition der Wahrscheinlichkeit grundsätzlich nicht möglich ist.