Aufgabe 1660
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilung
Der relative Anteil der österreichischen Bevölkerung mit der Blutgruppe „AB Rhesusfaktor negativ“ (AB–) ist bekannt und wird mit p bezeichnet. In einer Zufallsstichprobe von 100 Personen soll ermittelt werden, wie viele dieser zufällig ausgewählten Personen die genannte Blutgruppe haben.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier angeführten Ereignissen jeweils denjenigen Term (aus A bis F) zu, der die diesem Ereignis entsprechende Wahrscheinlichkeit angibt!
- Ereignis 1: Genau eine Person hat die Blutgruppe AB–.
- Ereignis 2: Mindestens eine Person hat die Blutgruppe AB–.
- Ereignis 3: Höchstens eine Person hat die Blutgruppe AB–.
- Ereignis 4: Keine Person hat die Blutgruppe AB–.
- Term A: \(1 - {p^{100}}\)
- Term B: \(p \cdot {\left( {1 - p} \right)^{99}}\)
- Term C: \(1 - {\left( {1 - p} \right)^{100}}\)
- Term D: \({\left( {1 - p} \right)^{100}}\)
- Term E: \(p \cdot {\left( {1 - p} \right)^{99}} \cdot 100\)
- Term F: \({\left( {1 - p} \right)^{100}} + p \cdot {\left( {1 - p} \right)^{99}} \cdot 100\)
Lösungsweg
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt:
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\) mit \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{n = 100}\\
{k = 1}
\end{array}} \right) = 100\)
Ereignis 1: Da „genau“ 1 Treffer gesucht ist, können wir direkt in obige Formel einsetzen
n=100, k=1: \(100 \cdot {p^1} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{100 - 1}} = 100 \cdot p \cdot {\left( {1 - p} \right)^{99}} \to {\text{ Term E}}\)
Ereignis 2: Wir arbeiten mit der Gegenwahrscheinlichkeit, dass niemand die Blutgruppe AB- hat. Die Gegenwahrscheinlichkeit hat immer die Form : \(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\)
- Somit kommen nur mehr die Terme A und C in Frage.
- Term A scheidet aus, weil er die Gegenwahrscheinlichkeit dafür angibt, dass alle 100 Personen die Blutgruppe AB- haben. (Also keine, 1, 2,…99 Personen haben die Blutgruppe AB-)
- Term C: \({\left( {1 - p} \right)^{100}}\) bedeutet, dass alle 100 Personen nicht die Blutgruppe AB- haben, bzw. dass keine Person die Blutgruppe AB- hat.
\(P\left( {X \geqslant k} \right) = 1 - P\left( {X \leqslant k - 1} \right) = 1 - {\left( {1 - p} \right)^{100}} \to {\text{ Term C}}\)
Ereignis 3: „Höchstens eine Person“ ist gleichbedeutend mit „genau keiner Person“ plus „genau einer Person“. Wir suchen also einen Term in dem 2 Wahrscheinlichkeiten addiert werden, somit kommt nur Term F in Frage.
- Der 1. Summand besagt das keine Person die fragliche Blutgruppe hat,
- der 2. Summand ist, so wie auch schon der Term E, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine Person die fragliche Blutgruppe hat
→ Term F
Ereignis 4: Die Wahrscheinlichkeit dafür dass eine Person nicht die fragliche Blutgruppe hat beträgt (1-p). Die Wahrscheinlichkeit dass alle 100 Personen die fragliche Blutgruppe haben beträgt \({\left( {1 - p} \right)^{100}} \to {\text{Term D}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Ereignis 1: Term E
- Ereignis 2: Term C
- Ereignis 3: Term F
- Ereignis 4: Term D
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Ereignisse ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.