Aufgabe 1780
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zimmerbuchung
Ein Hotelmanager geht aufgrund langjähriger Erfahrung davon aus, dass jede Zimmerbuchung, die unabhängig von anderen Zimmerbuchungen erfolgte, mit 10%-iger Wahrscheinlichkeit storniert wird. Er nimmt für einen bestimmten Termin 40 voneinander unabhängige Zimmerbuchungen an.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an diesem Termin von den 40 Zimmerbuchungen höchstens 5 % storniert werden.
Lösungsweg
X ... Anzahl der Zimmerbuchungen (von den insgesamt 40 Zimmerbuchungen), die storniert werden
Wie gehen von einer Binomialverteilung aus, weil die diskrete Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Zimmer wird storniert / Zimmer wird nicht storniert. Die Grundgesamtheit ändert sich im Laufe der Wiederholungen nicht, da jedes Zimmer lt. Angabe unabhängig von den anderen Zimmern gebucht wurde.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für genau k Treffer lautet:
\(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\)
5% von 40 Zimmern sind 2 Zimmer.
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 40 und p = 0,1 sowie k=0, 1, 2
\(\begin{array}{l} P\left( {X \le 2} \right) = P\left( {X = 0} \right) + P(X = 1) + P(X = 2)\\ \\ P\left( {X = 0} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {40}\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {0,1^0} \cdot {\left( {0,9} \right)^{40}} = {0,9^{40}} \approx 0,0148\\ P\left( {X = 1} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {40}\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,1^1} \cdot {\left( {0,9} \right)^{39}} = 40 \cdot 0,1 \cdot {0,9^{39}} \approx 0,0657\\ P\left( {X = 2} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {40}\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,1^2} \cdot {\left( {0,9} \right)^{38}} = 780 \cdot 0,01 \cdot {0,9^{38}} \approx 0,14233\\ \\ P\left( {X \le 2} \right) \approx 0,0148 + 0,0657 + 0,14233 \approx 0,2228 \buildrel \wedge \over = 22,3\% \end{array}\)
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass an diesem Termin von den 40 Zimmerbuchungen höchstens 5 % storniert werden, beträgt ca. 22,3 %.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Wahrscheinlichkeit, dass an diesem Termin von den 40 Zimmerbuchungen höchstens 5 % storniert werden, beträgt ca. 22,3 %.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu werten.