Aufgabe 1804
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wurf einer Münze
Eine Münze zeigt nach einem Wurf entweder Kopf oder Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Kopf zeigt, ist bei jedem Wurf genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie Zahl zeigt. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Die Münze wird 20-mal geworfen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesen 20 Würfen die Münze genau 12-mal Kopf zeigt.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Kopf / Zahl. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) n Mal gleich und unverändert wiederholt.
X heißt binomialverteilt mit den 2 Parametern n und p:
- n … Anzahl der Ziehungen bzw. der Wiederholungen vom Zufallsexperiment, wobei n ∈ N
- p ... Wahrscheinlichkeit für das Auftreten vom Ereignis X, bei jedem einzelnen der n Versuche, mit 0 < p < 1
In diesem Beispiel ist n=20 und p=0,5. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt. Somit ist k=12.
\(\begin{array}{l} P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\\ P\left( {X = 12} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ {12} \end{array}} \right) \cdot {0,5^{12}} \cdot {\left( {1 - 0,5} \right)^{20 - 12}}\\ = 125970 \cdot {0,5^{12}} \cdot {0,5^8} \approx 0,12012 \end{array}\)
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Würfen einer fairen Münze 12 mal Kopf gezeigt wird beträgt 0,12 bzw. 12%
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Würfen einer fairen Münze 12 mal Kopf gezeigt wird beträgt 0,12 bzw. 12%
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Losung sind ebenfalls als richtig zu werten.