Aufgabe 1851
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen
Eine bestimmte Zufallsvariable X kann nur den Wert –4, den Wert 0 oder den Wert 2 annehmen. Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:
\(\begin{array}{l} P\left( {X = - 4} \right) = 0,3\\ P\left( {X = 0} \right) = a\\ P\left( {X = 2} \right) = b \end{array}\)
Dabei sind a und b positive reelle Zahlen.
Der Erwartungswert von X ist null, also E(X) = 0.
Aufgabenstellung:
Geben Sie a und b an.
- a =
- b =
[0 / ½ / 1 P.]
Lösungsweg
Die Angabe sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable den Wert x1=-4 annimmt 30% beträgt. Dafür dass sie den Wert x2=0 annimmt beträgt die Wahrscheinlichkeit a% und für den Wert x3=2 beträgt die Wahrscheinlichkeit b%. Die Summe der 3 Wahrscheinlichkeiten muss 1 bzw. 100% betragen:
\(Gl.1:0,3 + a + b = 1\)
Weiters beinhaltet die Angabe noch die Aussage, dass der Erwartungswert E(X)=0 beträgt. Der Erwartungswert entspricht der Summe der Werte der Zufallsvariablen X=xi multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von xi also P(X=xi).
\(E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} = \mu \)
Somit:
\(\begin{array}{l} Gl.2:E(X) = \left( { - 4} \right) \cdot 0,3 + 0 \cdot a + 2 \cdot b = 0\\ 2 \cdot b = 1,2\\ b = 0,6 \end{array}\)
Wir kennen nun b und können durch Einsetzen in die Gl.1 den Wert von a wie folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} Gl.1:0,3 + a + 0,6 = 1\\ a = 0,1 \end{array}\)
Die gesuchten Parameter ergeben sich zu:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {a = 0,1}\\ {b = 0,6} \end{array}\)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {a = 0,1}\\ {b = 0,6} \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.