Aufgabe 4184
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gewitter - Aufgabe A_071
Teil c
Während eines Nachmittags, an dem es ein Gewitter gab, wurde die Veränderung der Temperatur ermittelt. Die Funktion T′ beschreibt die momentane Änderungsrate der Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (siehe nachstehende Abbildung).
- t … Zeit seit Beginn der Messung in h
- T′(t) … momentane Änderungsrate der Temperatur zur Zeit t in °C/h
- Die Funktion T′ hat an der Stelle t0 eine Nullstelle (siehe obige Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.
- Aussage 1: Jede Stammfunktion von T′ hat an der Stelle t0 eine Maximumstelle.
- Aussage 2: Jede Stammfunktion von T′ hat an der Stelle t0 eine Minimumstelle.
- Aussage 3: Jede Stammfunktion von T′ hat an der Stelle t0 eine Nullstelle.
- Aussage 4: Jede Stammfunktion von T′ hat an der Stelle t0 eine Wendestelle.
- Aussage 5: Jede Stammfunktion von T′ hat an der Stelle t0 eine positive Steigung.
[1 aus 5] [1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Die absolute Temperaturänderung in einem Zeitintervall [t1; t2] kann durch das Integral \(\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {T'\left( t \right)} \,\,dt\) berechnet werden. Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung näherungsweise die absolute Temperaturänderung im Zeitintervall [1,25; 1,5].
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die NEW Regel stellt Zusammenhänge zwischen Nullstelle Extremstelle und Wendestelle für eine Funktion sowie deren Stammfunktion bzw. Ableitungsfunktion dar.
Gemäß der NEW-Regel muss dort wo die 1. Ableitung eine Nullstelle hat die zugehörige Stammfunktion eine Extremstelle haben. Somit kommen nur mehr die 1. und die 2. Aussage in Frage.
Weiters wissen wir aus den Regeln für das grafische Differenzieren, dass dort wo f' unterhalb der x-Achse liegt die zugehörige Funktion streng monoton sinken muss. Hingegen dort wo f' oberhalb der x-Achse liegt, muss die zugehörige Funktion streng monoton steigen. Dh die zugehörige Stammfunktion hat einen U-förmigen Verlauf, somit handelt es sich bei der Extremstelle um ein lokales Minimum → Aussage 2
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht obige Zusammenhänge
2. Teilaufgabe:
"Integral" setzen wir gedanklich mit "Flächenberechnung" gleich. Die dem Integral \(\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {T'\left( t \right)} \,\,dt\) entsprechende Flache wird von rund 10,5 Kästchen mit einem Flächeninhalt von jeweils 0,125 überdeckt. Die Gesamtfläche errechnet sich daher wie folgt: \(A = 10,5 \cdot 0,125 \approx 1,3\)
→ Die absolute Temperaturänderung im Zeitintervall [1,25; 1,5] beträgt rund 1,3 °C.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
2. Teilaufgabe
Die absolute Temperaturänderung im Zeitintervall [1,25; 1,5] beträgt rund 1,3 °C.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Ankreuzen
2. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige näherungsweise Bestimmen der absoluten Temperaturänderung
(Toleranzbereich: [1,2 °C; 1,45 °C])