Aufgabe 4203
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kontrolle der Geschwindigkeit - Aufgabe A_117
Teil a
Die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem bestimmten Abschnitt der Westautobahn ein Fahrzeug mit überhöhter Geschwindigkeit unterwegs ist, beträgt 4 %. Eine Zufallsstichprobe von 1 500 Fahrzeugen wird überprüft. Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt die Anzahl derjenigen Fahrzeuge an, die dort mit überhöhter Geschwindigkeit unterwegs sind.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass genau a Fahrzeuge dieser Zufallsstichprobe mit überhöhter Geschwindigkeit unterwegs sind. P(X = a)
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Es handelt sich um eine Binomialverteilung. Das ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Auto zu schnell, Auto nicht zu schnell
- n=1500, weil die Stichprobe 1500 Fahrzeuge umfasst
- p=0,04, weil 4% der Fahrzeuge mit überhöhter Geschwindigkeit unterwegs sind
- (1-p)=0,96
Die Formel für "genau k Treffer" lautet:
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\)
Die Formel für "genau k=a Treffer" lautet:
\(P\left( {X = a} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1500}\\ a \end{array}} \right) \cdot {0,04^a} \cdot {0,96^{1500 - a}}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(P\left( {X = a} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1500}\\ a \end{array}} \right) \cdot {0,04^a} \cdot {0,96^{1500 - a}}\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Erstellen der Formel