Aufgabe 4240
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kühe auf der Weide - Aufgabe A_141
Teil a
In der nachstehenden Abbildung ist eine Weide modellhaft dargestellt. Die obere Begrenzungslinie kann mithilfe einer Funktion f beschrieben werden. Die anderen drei Begrenzungslinien verlaufen geradlinig.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von f eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A dieser Weide.
A =
[1 Punkt]
Für die Funktion f gilt:
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + 52\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie unter Verwendung der in der obigen Abbildung angegebenen Koordinaten ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a und b.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir können die Fläche aus 3 Teilflächen zusammensetzen:
- Die Fläche zwischen der Funktion f und der x-Achse. Achtung: Die untere Grenze vom Integral ist 20, die obere Grenze ist 320: \({A_1} = \int\limits_{20}^{320} {f\left( x \right)\,\,dx}\)
- Links müssen wir einen dreieckigen Zwickel hinzufügen: \({A_2} = \dfrac{{a \cdot {h_a}}}{2} = \dfrac{{20 \cdot 60}}{2} = 600\)
- Rechts müssen wir einen dreieckigen Zwickel abziehen: \({A_3} = \dfrac{{a \cdot {h_a}}}{2} = \dfrac{{20 \cdot 100}}{2} = 1000\)
Somit ergibt sich die gesuchte Fläche zu:
\(\begin{array}{l} A = {A_1} + {A_2} - {A_3}\\ A = \int\limits_{20}^{320} {f\left( x \right)\,\,dx} + 600 - 1000\\ A = \int\limits_{20}^{320} {f\left( x \right)\,\,dx} - 400 \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Aus der Illustration können wir mit Hilfe der beschrifteten Punkte P und Q zwei Gleichungen für die beiden gesuchten Variablen anschreiben (und anschließend lösen):
\(\begin{array}{l} P\left( {20\left| {60} \right.} \right)\\ f\left( {x = 20} \right) = a \cdot {20^2} + b \cdot 20 + 52 = 60\\ Gl.1:400 \cdot a + 20.b = 8\\ \\ Q\left( {320\left| {100} \right.} \right)\\ f\left( {x = 320} \right) = a \cdot {320^2} + b \cdot 320 + 52 = 100\\ Gl.2:102400 \cdot a + 320 \cdot b = 48 \end{array}\)
Somit lauten die beiden gesuchten Gleichungen
\(\eqalign{ & 400 \cdot a + 20.b = 8 \cr & 102400 \cdot a + 320 \cdot b = 48 \cr} \)
Anmerkung:
Die Koeffizienten a und b sind zwar nicht gefragt, können aber mit Hilfe von Technologieeinsatz wie folgt berechnet werden:
\(\eqalign{ & 400*a + 20*b = 8 \cr & 102400*a + 320*b = 48 \cr & a = - \dfrac{1}{{1200}} \cr & b = \dfrac{5}{{12}} \cr} \)
Somit lautet die Funktionsgleichung:
\(f(x) = - \dfrac{1}{{1200}} \cdot {x^2} + \dfrac{5}{{12}} + 52\)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(A = \int\limits_{20}^{320} {f\left( x \right)\,\,dx} - 400\)
2. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & 400 \cdot a + 20.b = 8 \cr & 102400 \cdot a + 320 \cdot b = 48 \cr} \)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A1: für das richtige Erstellen der Formel
2. Teilaufgabe
1 × A2: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems