Aufgabe 4259
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Torre de Collserola - Aufgabe A_296
Teil c
Vom Fußpunkt des Torre de Collserola (Fernsehturm in Barcelona) bis zu dessen Aussichtsplattform führt ein Aufzug senkrecht nach oben. In der nachstehenden Abbildung ist die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v bei einer Aufzugsfahrt modellhaft dargestellt.
Im Zeitintervall [0; 30] gilt für die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v:
\(v\left( t \right) = - \dfrac{1}{{11250}} \cdot {t^3} + \dfrac{1}{{250}} \cdot {t^2}{\rm{ mit }}0 \le t \le 30\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie die Länge des Weges, der bei dieser Aufzugsfahrt insgesamt zurückgelegt wird.
[2 Punkte]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Gemäß der Weg-Zeit Funktion erhalten wir den zurückgelegten Weg aus dem Integral der Geschwindigkeit über die Zeit gemäß:
\(s\left( t \right) = \int\limits_0^T {v\left( t \right)} \,\,dt\)
Die Länge des zurückgelegten Weges entspricht daher dem Inhalt derjenigen Fläche, die der Graph mit der horizontalen Achse im Intervall [0; 150] einschließt.
In diesem konkreten Fall setzt sich diese Fläche aus drei Flächen zusammen:
\(s(t) = \int\limits_0^{30} {\left( { - \dfrac{1}{{11250}} \cdot {t^3} + \dfrac{1}{{250}} \cdot {t^2}} \right)} \,\,dt + 1,2 \cdot 75 + \dfrac{{1,2 \cdot 45}}{2} = 18 + 90 + 27 = 135\)
Wir haben das bestimmte Integral mittels Technologieeinsatzes gelöst:
Wolfram Alpha: Integrate[(-(1)/(11250)t^(3)+(1)/(250)t^(2)),0,30]
→ Der zurückgelegte Weg hat eine Länge von insgesamt 135 m.
Anmerkung: Das bestimmte Integral ist besonders einfach (simples Polynom und untere Grenze gleich Null) und kann auch einfach selbst errechnet werden:
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^{30} {\left( { - \dfrac{1}{{11250}} \cdot {t^3} + \dfrac{1}{{250}} \cdot {t^2}} \right)} \,\,dt = \\ = \left[ { - \dfrac{1}{{11250}} \cdot \dfrac{{{t^4}}}{4} + \dfrac{1}{{250}} \cdot \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right]_0^{30} = \\ = \left[ {\dfrac{{{t^3}}}{{750}} - \dfrac{{{t^4}}}{{45000}}} \right]_0^{30} = \\ = \dfrac{{{{30}^3}}}{{750}} - \dfrac{{{{30}^4}}}{{45000}} = 18 \end{array}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der zurückgelegte Weg hat eine Länge von insgesamt 135 m.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x A: für den richtigen Ansatz (Länge des zurückgelegten Weges entspricht dem Inhalt derjenigen Fläche, die der Graph mit der horizontalen Achse im Intervall [0; 150] einschließt)
1 x B: für das richtige Berechnen der Lange des zurückgelegten Weges