Aufgabe 4039
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinkende Kugeln - Aufgabe B_407
Teil c
Die Sinkgeschwindigkeit einer bestimmten Kugel kann durch die Funktion v beschrieben werden:
\(v\left( t \right) = g \cdot 0,25 \cdot \left( {1 - {e^{\left( { - \dfrac{t}{{0,25}}} \right)}}} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0\)
wobei:
t | Zeit ab Beginn des Sinkens in s |
v(t) | Sinkgeschwindigkeit zur Zeit t in m/s |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie denjenigen Weg, den die Kugel in der ersten Sekunde zurücklegt.
[1 Punkt]
Im Zeitintervall [0; t1] legt die Kugel einen Weg von 8 m zurück.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie die Zeit t1.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Geschwindigkeit ist die 1. Ableitung des Weges nach der Zeit. Umgekehrt ist das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit der in dieser Zeit zurückgelegte Weg.
\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,\,dt\)
Somit erhalten wir durch Integration und mittels Technologieeinsatz:
\(\eqalign{ & v\left( t \right) = g \cdot 0,25 \cdot \left( {1 - {e^{\left( { - \dfrac{t}{{0,25}}} \right)}}} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0 \cr & s\left( t \right) = \int\limits_{t = 0}^1 {v(t)} = g \cdot 0,25 \cdot \int\limits_0^1 {\left( {1 - {e^{\left( { - \dfrac{t}{{0,25}}} \right)}}} \right)\,\,dt} = 1,85m \cr} \)
In der ersten Sekunde legt die Kugel rund 1,85 m zurück.
Lösung vom bestimmten Integral mittels Technologieeinsatz
Geogebra:
Achtung:
- Integral[<Funktion>, <Variable>, <Startwert>, <Endwert>] Berechnet das bestimmte Integral im Intervall [Startwert , Endwert] nach der gegebenen Variable.
- Die Eulersche Zahl e mittels "ALT" + "e" eingeben, ohne "ALT" wird e als Variable und nicht als Eulersche Zahl (eine Konstante) interpretiert
- Eine Klammer über den gesamten Exponenten setzen
- Das 2. Icon von links "Berechne numerisch"
2. Teilaufgabe
Erneut müssen wir das bestimmte Integral berechnen. Wir kennen den Wert des Integrals zu 8 und die untere Grenze zu 0. Gesucht ist die obere Grenze t1
Wir finden die Lösung mittels Technologieeinsatz wie folgt:
\(\eqalign{ & v\left( t \right) = g \cdot 0,25 \cdot \left( {1 - {e^{\left( { - \dfrac{t}{{0,25}}} \right)}}} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0 \cr & s\left( {{t_1}} \right) = 8 \cr & s\left( {{t_1}} \right) = \int\limits_{t = 0}^1 {v(t)} = 9,81 \cdot 0,25 \cdot \int\limits_0^{{t_1}} {\left( {1 - {e^{\left( { - \dfrac{t}{{0,25}}} \right)}}} \right)\,\,dt} = 8 \to {t_1} = 3,51s \cr} \)
Die Kugel benötigt rund 3,5 Sekunden, um diesen Weg zurückzulegen.
Geogebra:
- Integral[<Funktion>, <Startwert>, <Endwert>]
- Die Eulersche Zahl e mittels "ALT" + "e" eingeben, ohne "ALT" wird e als Variable und nicht als Eulersche Zahl (eine Konstante) interpretiert
- Eine Klammer über den gesamten Exponenten setzen
- Das 8. Icon von links "Löse numerisch"
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
In der ersten Sekunde legt die Kugel rund 1,85 m zurück.
2. Teilaufgabe:
Die Kugel benötigt rund 3,5 Sekunden, um diesen Weg zurückzulegen.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
× B1: für die richtige Berechnung desjenigen Weges, den die Kugel in der ersten Sekunde zurücklegt (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B2: für das richtige Bestimmen der Zeit t1 (KB)