Aufgabe 4432
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flughafen - Aufgabe B_506
Teil b
Der Kerosinverbrauch eines bestimmten Flugzeugs auf einer bestimmten Strecke kann als annähernd normalverteilt angenommen werden. Der Erwartungswert betragt μ = 845 L/100 km und die Standardabweichung beträgt σ = 25 L/100 km.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem der Kerosinverbrauch mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
[0 / 1 P.]
Nach Reparaturarbeiten soll der Erwartungswert des Kerosinverbrauchs mithilfe eines Konfidenzintervalls neu geschätzt werden. Dabei wird angenommen, dass die Standardabweichung gleich geblieben ist. Nach den Reparaturarbeiten wurde der Kerosinverbrauch in L/100 km von einer Zufallsstichprobe von 10 Flügen auf dieser Strecke gemessen:
844 | 840 | 864 | 820 | 788 | 858 | 832 | 817 | 839 | 796 |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie das zweiseitige 99-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert des Kerosinverbrauchs nach den Reparaturarbeiten.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Es liegt also eine Normalverteilung vor. Bei um den Erwartungswert symmetrischen Intervallen gilt gemäß Angabe folgender Zusammenhang:
μ=845 σ=25
Die Fläche der Dichtefunktion, die innerhalb vom um μ symmetrische Intervall liegen soll entspricht 90%
Überlegungen bezüglich der Flächen
- 90% → 0,90 zwischen der unteren und der oberen Grenze
- 5% → 0,05 für die Fläche links von der unteren Grenze
- 5% → 0,05 für die Fläche rechts von der oberen Grenze, bzw. 0,9+0,05=0,95 liegen links von der oberen Grenze
1. untere Grenze:
μ=845; σ=25; Fläche=0,05
Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
- Geogebra: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
- Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[845, 25, 0.05] ⇒ x1 = 803,8787
2. obere Grenze
μ=845 σ=25 Fläche=0,95
Berechnung des Intervalls mittels Technologieeinsatz:
- Geogebra: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
- Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[845, 25, 0.95] ⇒ x2 = 886,1213
\(\begin{array}{l} P\left( {X \ge 886} \right) = 0,05\\ P\left( {X \le 886} \right) = 0,95 \end{array}\)
→ Das um μ symmetrische Intervall, in dem der Kerosinverbrauch mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt, lautet: [803,8787; 886,1213]
2. Teilaufgabe:
Ein Blick in die Formelsammlung liefert:
Zweiseitiges (1– α)-Konfidenz- bzw. Schwankungsintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen bei bekanntem σ und bekanntem Mittelwert der Zufallsstichprobe lautet:
\(\left[ {\overline x - {z_{1 - \dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }};\overline x + {z_{1 - \dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }}} \right]\)
Wir bestimmen die für die Berechnung erforderlichen 4 Werte:
- Mittelwert der Stichprobe:
\(\overline x = \dfrac{{844 + 840 + 864 + 820 + 788 + 858 + 832 + 817 + 839 + 796}}{{10}} = 829,8\) - z-Wert gemäß Formelsammlung:
\(\begin{array}{l} P\left( { - z \le Z \le z} \right) = 90\% \to z = 1,654\\ P\left( { - z \le Z \le z} \right) = 95\% \to z = 1,960\\ P\left( { - z \le Z \le z} \right) = 99\% \to z = 2,576 \end{array}\)
z=2,576 - Standardabweichung lt. Angabe
\(\sigma = 25\) - Wurzel vom Stichprobenumgang
\(\sqrt n = \sqrt {10} \)
Wir setzen in die Formel ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} \overline x - {z_{1 - \dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }} = 829,8 - 2,576 \cdot \dfrac{{25}}{{\sqrt {10} }} \approx 809,4349\\ \\ \overline x + {z_{1 - \dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }} = 829,8 + 2,576 \cdot \dfrac{{25}}{{\sqrt {10} }} \approx 850,1651 \end{array}\)
Das zweiseitige 99-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert des Kerosinverbrauchs nach den Reparaturarbeiten lautet:
\(\left[ {809,4349;\,\,850,1651} \right]\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet
1. Teilaufgabe
\(P\left( {\mu - a \le X \le \mu - a} \right) = 0,9 \to \left[ {803,8;\,886,1} \right]\)
2. Teilaufgabe
Das zweiseitige 99-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert des Kerosinverbrauchs nach den Reparaturarbeiten lautet
\(\left[ {809,4;\,\,850,2} \right]\)
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Intervalls.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Konfidenzintervalls.